主定理中的正则条件

主定理（Master Theorem）是一种求解分治算法复杂度的数学公式，它依赖于一些正则条件。理解这些条件是理解主定理的重要前提。

前置知识

在讲解正则条件之前，我们需要了解一些术语和概念：

• 分治算法：将一个大问题分解为多个相同或相似的子问题，并递归求解这些子问题，最终合并子问题的解得到大问题的解。
• 子问题规模：指一个子问题的输入大小，通常用 $n$ 表示。
• 递推式：用于描述分治算法复杂度的数学公式，通常写成 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ 的形式，其中 $a$ 是子问题数量，$b$ 是子问题规模因子，$f(n)$ 是合并子问题解的复杂度。
• 渐进符号：指当输入规模趋近于正无穷时，函数的增长趋势。我们通常用 $O$、$\Theta$、$\Omega$ 表示渐进符号。

正则条件

主定理需要适用于以下形式的递推式：

$$ T(n) = aT(n/b) + f(n) $$

其中 $a$、$b$、$f(n)$ 都是已知量。主定理给出了当 $f(n)$ 是以下三种情况时的解法：

1. $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，其中 $0 < \epsilon$。即 $f(n)$ 的增长趋势比 $n^{\log_b a}$ 慢一个常数倍。

   此时，递归步骤的贡献比较小，主定理中的复杂度为：

   $$ T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) $$

2. $f(n) = \Theta(n^{\log_b a})$。

   此时，递归步骤和合并步骤的贡献相当，主定理中的复杂度为：

   $$ T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n) $$

3. $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \epsilon})$，其中 $0 < \epsilon$。即 $f(n)$ 的增长趋势比 $n^{\log_b a}$ 快一个常数倍。

   此时，合并步骤的贡献比较小，主定理中的复杂度为：

   $$ T(n) = \Theta(f(n)) $$

示例

假设我们有以下递推式：

$$ T(n) = 4T(n/2) + n^2 $$

此时，$a=4$、$b=2$，$f(n) = n^2$。根据主定理中的正则条件，我们可以得到：

• $f(n) = O(n^{\log_b a - \epsilon})$，其中 $\epsilon=\frac12$，因为 $\log_b a = 2$。此时 $f(n)$ 的增长趋势比 $n^2$ 慢一个常数倍，因此可应用主定理中的情况 1。

  根据主定理，我们得到递推式的复杂度为：

  $$ T(n) = \Theta(n^2) $$

  这意味着对于以 $n$ 为规模的问题，该算法的运行时间与 $n^2$ 大小级别相当。

结论

掌握主定理的正则条件是分析分治算法复杂度的基础。在设计或分析分治算法时，我们必须做到对递推式进行正确的归纳推导，并正确识别出 $f(n)$ 的增长趋势，才能应用主定理得到有效的复杂度分析结论。