布尔代数中德摩根定律的证明

声明：
1. $(x+y)'= x'. y'$
2. $(x.y)'=x'+y'$

证明：
在这里我们可以看到，我们需要证明这两个命题是互补的。
我们知道$A+A'=1$和$A.A'=0$这是湮灭定律。因此，如果我们证明上述定律陈述的这些条件，那么我们将证明它们是相互补充的。

对于陈述 1：
我们需要证明：
$(x+y)+x'.y'=1$和$(x'.y').(x+y)=0$

情况1。
$(x+y)+x'.y'=1$
$LHS: (x+y)+x'.y' =(x+y).(x+x')+x'.y'$
$=x.x+x.y+y.x'+x'.y'=x+x.y+y.x'+x'.y'$ {使用分配属性}
$=x+x.y+x'.(y+y')$
$=x+x.y+x'=x+x'+x.y$
$=1+x.y=1=RHS$
因此证明。

案例 2。
$(x'.y').(x+y)=0$
$LHS: (x'.y').(x+y)=x.(x'y')+y.(x'.y')$
$=x.0+0.x'=0=RHS$
因此证明。

对于陈述 2：
我们需要证明：
$x.y+(x'+y')=1$和$x.y.(x'+y')=0$

情况1。
$x.y+(x'+y')=1$
$LHS: x.y+(x'+y')=(x+x'+y').(y+x'+y')$
{我们知道 A+BC=(A+B).(A+C)}
$=(1+y').(1+x')=1=RHS$
因此证明。

案例 2。
$x.y.(x'+y')=0$
$LHS: (x.y).(x'+y')=x.x'.y+x.y.y'$
$=0=RHS$
因此证明。
这使用布尔代数的恒等式证明了德摩根定理。