生成树

如果T是树并且T包括G的所有顶点，则连通图G的子图T称为G的生成树。

最小生成树：

假设G是一个连通权重图，即，为G的每个边分配了一个非负数，称为边的权重，则为G的任何生成树T分配了通过将边的权重与T相加而获得的总权重。

G的最小生成树是总权重尽可能小的树。

克鲁斯卡尔算法找到最小生成树：该算法找到给定连通加权图G的最小生成树T。

• 输入具有n个顶点的给定连接加权图G，我们希望找到它们的最小生成树T。
• 根据权重增加，对图形G的所有边进行排序。
• 用所有顶点初始化T，但要包括边。
• 将每个图G添加到T中，直到添加n-1个边，才形成循环。

例1：确定如图所示的加权图的最小生成树：

解决方案：使用kruskal算法以递增顺序排列加权图的所有边缘，并使用G的所有六个顶点初始化生成树T。现在开始将G的边缘添加到T中，这不会形成循环，并且权重最小，直到五个因为有六个顶点，所以不添加边。

边缘权重已添加或未添加
(B，E)2已添加
(C，D)3已添加
(A，D)4已添加
[C，F)4已添加
(B，C)5新增
(E，F)5未添加
(A，B)6未添加
(D，E)6未添加
(A，F)7未添加

第1步：

第2步：

第三步：

步骤4：

第五步：

步骤6：丢弃边(A，B)，(D，E)和(E，F)，因为它们将在图中形成循环。

因此，输出步骤5中的最小生成树形式，总成本为18。

例2：找到图G的所有生成树，然后找到图G中的最小生成树：

解决方案：图G中共有三棵生成树，如图所示：

要查找最小生成树，请使用KRUSKAL算法。最小生成树如图所示：

边缘权重已添加或未添加
(E，F)1已添加
(A，B)2已添加
(C，D)2已添加
(B，C)3新增
(D，E)3已添加
(B，D)6未添加

第一个是最小范围，最小权重= 11。