RD Sharma解 – 第8章 线性方程组的解 – 练习8.2

RD Sharma解 – 第8章 线性方程组的解 – 练习8.2是讲述如何求解线性方程组的一道练习题。本文将详细介绍这道题目的解法。

题目描述

解下列线性方程组:

$$x − 2y + 3z = 1$$ $$2x + y − z = –2$$ $$3x – 4y + 5z = 5$$

解题步骤

步骤1：转化为增广矩阵

将线性方程组转化为增广矩阵：

$$ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 1\ 2 & 1 & -1 & | & -2\ 3 & -4 & 5 & | & 5 \end{bmatrix} $$

其中，竖线左边的矩阵是系数矩阵，右边的向量是常数矩阵。

步骤2：高斯消元

使用高斯消元法将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵：

$$ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 1\ 0 & 5 & -7 & | & -4\ 0 & 0 & 2 & | & 6 \end{bmatrix} $$

步骤3：回带求解

从最后一行开始，依次回带求解，得到：

$$ \begin{aligned} 2z & = 6\ z & = 3\ 5y - 7z & = -4\ 5y - 7 \times 3 & = -4\ y & = 1\ x - 2y + 3z & = 1\ x - 2 \times 1 + 3 \times 3 & = 10\ x & = 5\ \end{aligned} $$

因此，原线性方程组的解为 $x=5, y=1, z=3$。

代码实现

1. 将线性方程组转化为增广矩阵；
2. 使用高斯消元法将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
3. 从最后一行开始，依次回带求解。

总结

RD Sharma解 – 第8章 线性方程组的解 – 练习8.2是求解线性方程组的一道经典练习题，通过本文的介绍，我们可以掌握高斯消元法的应用技巧，更好的理解线性方程组的解法。