门| GATE CS 1999 |问题30

本文将介绍GATE CS 1999的问题30，这是一道关于数学中逻辑门的问题。本题目要求考生将一个逻辑表达式转换成CNF（合取范式）的形式。这是一个在计算机科学与人工智能领域常常会遇到的问题。

问题描述

以下是问题的具体描述：

给出一个逻辑表达式S，S由以下逻辑运算符号构成：“,”（逗号，表示AND）、“|”（竖线，表示OR）、“~”（波浪号，表示NOT）和小括号。请将S转换成CNF的形式。

解法分析

本问题可以通过使用以下三个步骤来解决：

• 去除IMP（条件运算符“=>”）和EQV（等价运算符“<=>”），转换为AND, OR, 和 NOT。
• 使用De Morgan定律将“NOT”操作移到连接符的前面，然后再应用分配律将“OR”组合成“AND”。
• 根据分配律以及De Morgan定律，将逻辑表达式化为CNF形式。

代码实现

以下是C++的参考实现，可以用来转换给定的逻辑表达式为CNF的形式：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<vector<int>> ans;

void formula(vector<int> clause,vector<vector<int>> antecedents,int index)
{
    if(index == antecedents.size()) 
    {
        ans.emplace_back(clause);
        return;
    }
    for(int i=0; i<antecedents[index].size(); i++)
    {
        vector<int> temp = clause;
        temp.emplace_back(antecedents[index][i]);
        formula(temp, antecedents, index + 1);
    }
}

void cnf_formula(string input){
    //去除IMP和EQV
    while(true)
    {
        int imp = input.find("=>");
        if(imp == -1) break;
        string before, after;
        int index = imp - 1;
        int count = 0;
        while(count != 1)
        {
            if(input[index] == ')') count++;
            if(input[index] == '(') count--;
            index--;
        }
        before = input.substr(0, index);
        after = input.substr(imp + 2, input.length() - imp - 2);
        input = before + "|(~" + before + ", " + after + ")";
    }

    while(true)
    {
        int eqv = input.find("<=>");
        if(eqv == -1) break;
        string before, after;
        int index = eqv - 1;
        int count = 0;
        while(count != 1)
        {
            if(input[index] == ')') count++;
            if(input[index] == '(') count--;
            index--;
        }
        before = input.substr(0, index);
        after = input.substr(eqv + 3, input.length() - eqv - 3);
        input = "(" + before + "&" + after + ") | (~" + before + "&~" + after + ")";
    }

    //将NOT操作符移至连接符前面
    for(int i=0; i<input.length(); i++)
    {
        if(input[i] == '~' && input[i+1] != '(')
        {
            input = input.substr(0, i) + " ~ " + input[i+1] + input.substr(i+2, input.length()-i-2);
        }
        if(input[i] == ')')
        {
            i++;
            if(input[i] == '~')
            {
                string temp;
                int count = 1;
                i++;
                while(count != 0)
                {
                    if(input[i] == ')') count--;
                    if(input[i] == '(') count++;
                    temp += input[i];
                    i++;
                }
                input = input.substr(0, i - temp.length() - 2) + " ~ " + temp + input.substr(i, input.length() - i);
            }
        }
    }

    vector<vector<int>> antecedents;

    //将OR组合成AND
    int start = 0;
    while(true)
    {
        int or1 = input.find('|', start);
        if(or1 == -1) break;
        string before, after;
        int index = or1 - 1;
        int count = 0;
        while(count != 1)
        {
            if(input[index] == ')') count++;
            if(input[index] == '(') count--;
            index--;
        }
        before = input.substr(0, index);
        after = input.substr(or1 + 2, input.length() - or1 - 2);
        input = before + "," + after;
        vector<int> clause;
        vector<int> leftSide;
        vector<int> rightSide;

        //将左侧子句添加到vector中
        int commaL = before.find(',');
        if(commaL == -1) leftSide.emplace_back(stoi(before));
        while(commaL != -1)
        {
            leftSide.emplace_back(stoi(before.substr(0, commaL)));
            before = before.substr(commaL + 1, before.length() - commaL - 1);
            commaL = before.find(',');
        }
        leftSide.emplace_back(stoi(before));
        antecedents.emplace_back(leftSide);

        //将右侧子句添加到vector中
        int commaR = after.find(',');
        if(commaR == -1) rightSide.emplace_back(stoi(after));
        while(commaR != -1)
        {
            rightSide.emplace_back(stoi(after.substr(0, commaR)));
            after = after.substr(commaR + 1, after.length() - commaR - 1);
            commaR = after.find(',');
        }
        rightSide.emplace_back(stoi(after));
        antecedents.emplace_back(rightSide);
        start = index + 1;
    }

    vector<int> temp;

    //将CNF形式的逻辑表达式添加到结果vector中
    temp = antecedents[0];
    formula(temp, antecedents, 1);

    //输出结果
    cout<<"The CNF expression of the input is: "<<endl;
    for(auto i: ans)
    {
        for(auto j: i)
        {
            cout<<j<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

结论

本文已经向你介绍了GATE CS 1999的问题30，并为该问题提供了一个简单的C++实现。通过使用这个参考实现，你可以将一个逻辑表达式转换成CNF形式。我们希望这篇文章能够对你有所帮助，让你对逻辑运算有更深入的理解。