门| GATE CS 1999 |问题7

这是一个旧版的 GATE 计算机科学考试题目，是一道关于图的最短路径问题的题目。这个问题有多种解法，其中比较经典的解法是 Dijkstra 算法。

题目描述

有一个包含 $n$ 个节点的有向加权图 $G=(V,E)$，其中每条边 $(u,v)\in E$ 都有一个非负权重值 $w(u,v)$。定义 $d(u,v)$ 表示从节点 $u$ 到节点 $v$ 的最短路径长度。其中，$d(u,u)=0$ 且如果不存在从节点 $u$ 到节点 $v$ 的路径，则 $d(u,v)=\infty$。

现在，我们需要按如下方式计算所有节点对 $(u,v)\in V\times V$ 的最短路径长度：

$$ P(U) = { d(u,v) ;|; (u,v) \in V\times V \mbox{ 且 } u \neq v } $$

首先，我们将图 $G$ 上的所有边的权重值按从大到小排序，并将排序后得到的边依次添加到一个新的图 $G'=(V,E')$ 中。也就是说，我们首先加入图 $G$ 中权重值最大的边，然后不断将权重值次大的边加入 $G'$ 中，直到所有边都被加入。这样，$G'$ 就是一个新的有向加权图，其中每条边 $(u,v)\in E'$ 的权重值递减。

当我们得到了图 $G'$ 后，就可以采用 Dijkstra 算法来计算所有节点对的最短路径长度。由于 $G'$ 的边权从大到小递减，因此经过 Dijkstra 算法计算的最短路径长度必须比按原顺序计算的路径长度更短。

最后，我们将按顺序得到的路径长度集合 $P(U)$ 返回即可。

解法实现

这里简单介绍一下 Dijkstra 算法的实现。对于一个给定的起点 $s$，我们可以用一个数组 $d$ 来记录该点到各个节点的最短路径长度。初始时，$d[s]=0$，其余节点的距离是无穷大。我们还需要一个优先队列来维护未被处理的节点。初始时，我们将起点加入队列中，并把队列中的节点按照到起点的距离从小到大排序。然后，每次从队列中取出距离最小的节点 $u$，并将与 $u$ 相连的节点 $v$ 的距离更新为 $\min{d[v],d[u]+w(u,v)}$。最后，把更新后的节点重新插入优先队列中，重复上述操作，直到队列为空。这时所有节点的最短路径长度已经被计算出来了。

下面是 Python 实现的代码片段，实现了上述的算法：

import heapq

def dijkstra(s, adj, weights):
    # 初始化距离数组，所有距离设为无穷大
    n = len(adj)
    dist = [float('inf')] * n

    # 优先队列中的元素是 (节点, 节点距离)
    pq = [(s, 0)]
    dist[s] = 0

    while pq:
        # 取出队列中距离最小的节点
        u, d = heapq.heappop(pq)

        # 如果该节点已经处理过，继续循环
        if d > dist[u]:
            continue

        # 对与该节点相连的节点进行更新
        for v, w in zip(adj[u], weights[u]):
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                heapq.heappush(pq, (v, dist[v]))

    return dist

此外，我们还需要对每个节点两两计算最短路径长度，得到路径长度集合 $P(U)$。完整的 Python 实现代码如下：

import heapq

def dijkstra(s, adj, weights):
    # 初始化距离数组，所有距离设为无穷大
    n = len(adj)
    dist = [float('inf')] * n

    # 优先队列中的元素是 (节点, 节点距离)
    pq = [(s, 0)]
    dist[s] = 0

    while pq:
        # 取出队列中距离最小的节点
        u, d = heapq.heappop(pq)

        # 如果该节点已经处理过，继续循环
        if d > dist[u]:
            continue

        # 对与该节点相连的节点进行更新
        for v, w in zip(adj[u], weights[u]):
            if dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w
                heapq.heappush(pq, (v, dist[v]))

    return dist

def shortest_paths(n, edges):
    # 初始化邻接表和边权矩阵
    adj = [[] for _ in range(n)]
    weights = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 将边添加到邻接表和边权矩阵中
    for u, v, w in edges:
        adj[u].append(v)
        weights[u][v] = w

    # 对边按权重排序，然后将累加的边添加到新图中
    sorted_edges = sorted(edges, key=lambda x: x[2], reverse=True)
    added = set()
    for u, v, w in sorted_edges:
        if (v, u) not in added:
            adj[u].append(v)
            weights[u][v] = w
            added.add((u, v))

    # 对每个节点进行 Dijkstra 计算最短路径
    paths = []
    for u in range(n):
        dist = dijkstra(u, adj, weights)
        for v in range(n):
            if u != v:
                paths.append(dist[v])

    return sorted(paths)

总结

本题涉及到了图的最短路径算法和排序算法。最短路径算法可以采用经典的 Dijkstra 算法，而排序算法则可以采用 Python 中的 sorted 函数。最后，我们需要注意对重复的边进行去重，以免影响 Dijkstra 算法的正确性。