门| GATE CS 1999 |问题4

这是一个关于计算机科学与技术的重要考试——GATE CS 1999的问题4的介绍，它是一道非常经典的问题，涉及到图论与算法等多个领域，对于有志于进一步学习计算机科学与技术的人来说，这个问题是不可或缺的。

题干

在一个门控电路的实现中，任何一些输入位不能相互影响。例如，在实现一个单二输入门时，相应的表示为两个输入应该相互独立。

假设我们有一些输入变量： A1, A2………An并且明确地规定如何实现每个变量（作为单一二进制变量）以及规定门的种类，它们可以交叉地连接到电路。证明在这种情况下，它是可能实现的，必要包括存在一个方案，使得门可以被布置成二进制树的形式。

（提示：根据图形理论可行性的欧拉定理求解）

解答

这个问题涉及到图形理论中欧拉定理的应用。在今天的计算中，门控电路多数时候是不存在限制的（也就是可以交叉地连接到电路），但是如果规定了任何一些输入位不能相互影响，那么我们需要对于输入变量进行划分，使得划分过后的所有变量两两独立，换句话说就是不存在连接。这样，我们就可以将输入变量看作点，连接看作边，构建一个图。

接下来，我们需要证明这个图是欧拉图。如果这个图是欧拉图，那么它是连通的，有欧拉回路（即有一个简单回路，其中可以经过所有边恰好一次），并且不存在度为奇数的节点。具体证明如下：

连通性

由于我们规定了每个输入变量都在电路中出现，因此所有点都在同一个联通分量中（由于每个输入变量可以交叉连接，因此我们仅考虑没有交叉连接的情况）。

欧拉回路

对于任意顶点v，我们需要证明存在一条回路，经过所有边恰好一次。

考虑在输入变量直接的连接构成的图上进行归纳。当只有两个输入变量时，显然成立。当有三个输入变量A, B, C时，可以构造四种不同的图形：

A—B—C
   |
   V

A—B
 \ |
  \V
   C

A—B
| |
V V
C D

注意这是有向图，并且图中也存在环，这里省略了指向输入变量的箭头。

这样，在由三个输入变量组成的图中，我们都可以找到一个欧拉回路。

假设我们已经证明了由k个点组成的图都存在欧拉回路，考虑k+1个点时的情况。考虑一条路径P1，连接了两个度为奇数的点v和u，其中v为当前节点。可以证明，对于所有的路径P1，都存在至少一条路径P2，它连接的两个度为奇数的点v'和u'，其中v'与v在路径P1上的距离最短，u'与u在路径P1上的距离最短。考虑如果我们去掉这个路径P1，将它分为P3和P4，那么我们可以将图分为两个部分，每个部分的顶点数<=k，因此根据归纳假设，每个部分都存在欧拉回路，那么将欧拉回路重新合在一起，就可以得到含有k+1个点的输入变量组成的图的欧拉回路。

度为偶数

由于每个输入变量都可以出现在多个门中，因此每个点的度数都是偶数。因此，图中不存在度为奇数的节点。

综上所述，这个图是欧拉图，因此存在一个方案，可以将门布置成二进制树的形式。