如何使用 De Moivre 定理化简 (-2 + 2i) ⁸ ？

复数是实数和虚数的组合。它们以 x + iy 的形式表示，其中 x 和 y 是实数，i 是虚数部分，也称为 iota。它通常由 z 表示。值“x”称为实部，用 Re(z) 表示，值“y”称为虚部，用 Im(z) 表示。复数绘制在称为 Argand 平面或复数平面的平面上，其中 x 轴是实轴，y 是虚轴。

实数和虚数

实数是那些平方给出正结果的数。它们可以是正数、负数等。它由 Re() 表示。虚数是平方为负值的数字。它们用 Im() 表示。虚数的形式为“bi”，其中 i 是 iota，b 是实数。

示例：z = 1 + 2i。在上面的例子中，它的形式是 a + ib，其中 a = 1 和 b = 2 是实数。

• Re(z) = 1
• Im(z) = 2

更多关于 Iota

一个虚数用 iota 'i' 表示。它用于求负数的平方根。 i 的值 = √(-1)。如果对 i 进行平方运算，

i² = i × i = -1

我⁴ = 1

复数运算

在复数中，可以进行加法、减法、乘法、除法和共轭。对实数值和虚数值分别进行运算。

• 加法：复数的加法是通过分别添加实部和虚部来执行的。让我们假设两个复数 x + ib 和 c + id。因此我们得到

x + ib + c + id = (x + c) + i(b + d)

• 减法：复数的减法是通过分别减去实部和虚部来执行的。让我们假设两个复数 a + ib 和 c + id。

a + ib – (c + id) = (a – c) + i(b – d)

• 乘法：当两个复数说 z ₁和 z ₂相乘时，z ₁的实部与 z ₂的实部和虚部都相乘，同样，虚部也是如此。让我们假设两个复数 a + ib 和 c + id。

(a + ib) × (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

• 共轭：让我们取一个复数 z。共轭是通过改变复数的虚部的符号来找到的，这意味着将 + 变为 - 和 - 变为 +。让我们假设一个复数a + ib。

共轭(a + ib) = (a – ib)

• 除法：当执行两个复数 z ₁和 z ₂的除法时，我们将分母 z ₂乘以其共轭并执行除法。让我们假设两个复数 a + ib 和 c + id。

(a + ib)/(c + id) = {(a + ib) (c – id)}/(c² + d²)

复数的模和自变量

复数的模由 |z| 表示或“r”，它是点 z 到 Argand 平面或复平面中原点的距离。 z = x + yi 的数值由下式给出$\sqrt{x² + y²}$ . z 的自变量通常由 arg(z) 表示，是连接 z 和原点的线与实轴正方向所成的角度。

Arg(z) = Arg(x + iy) = tan ^-1 (y/x)

例如，要查找 1 + 2i 的模数和参数

令 z = 1 + 2i

z 的模数 = $\sqrt{(1)^2 + (2)^2}$ = √5

这里，y = 2，x = 1

Arg(z) = 棕褐色^-1 (2/1)

参数的属性是 Arg(z ⁿ ) = n Arg(z)

以极坐标形式表示复数

复数可以用极坐标形式表示，因此它们可以绘制在复平面上，x 轴为实轴，y 轴为虚轴。

令 x + iy 为复数。因此 x = r cosθ, y = rsinθ, r = $\sqrt{(x²+y²)}$

z = r(cosθ + isinθ)

德莫弗定理

该定理是最有用的定理之一，因为它有助于建立三角函数和复数之间的关系。它有助于计算最多 n 次极坐标形式的复数的值。该定理指出，对于任何实数 x，

(cosx + isinx) ⁿ = cos(nx) + isin(nx)

其中 n 为正整数，i 为虚部。

如何使用 De Moivre 定理化简 (-2 + 2i) ⁸ ？

解决方案：

Let z = -2 + 2i

Arg(z) = tan^-1 (2/-2) = 3π/4

Absolute value = $\sqrt{(-2)^2 + (2)^2}$ = 2√2

Applying De Moivre’s Theorem,

z⁸ = [2√2{cos(3π/4) + isin(3π/4)}]⁸

= (2√2)⁸ [cos(24π/4) + isin(24π/4)]

= 4096(cos 6π + isin 6π) 

= 4096

类似问题

问题 1：写出 z ⁿ的公式，其中 z = r(cos x + isin x)

解决方案：

zⁿ = [r(cos x + isin x)]ⁿ

Using De Moivre’s formula,

zⁿ = rⁿ[cos nx + isin nx] 

问题2：让z = 2[cos (π/6) + isin (π/6)] 求z ³

解决方案：

n = 3

Using De Moivre’s formula,

z³ = (2[ cos π/6 + isin π/6])³

= 2³[ cos 3π/6 + isin 3π/6]

= 8(0 + i) = 8i

问题 3：使用 De Moivre 公式求 (1 + i) ²的值。

解决方案：

Let z = 1 + i

Arg(z) = tan^-1 (1) = π/4

|z| = $\sqrt{1+1}$ = √2

So, z = √2(cos π/4 + isin π/4) 

z² = (√2(cos π/4 + isin π/4))²

= (√2)² [cos 2π/4 + isin π/4]

= 2[0 + i] = 2i

问题 4：求 (√3 + i) ⁴的值

解决方案：

|z| = $\sqrt{(√3)^2 + (1)^2}$ = 2

Arg(z) = π/6

z⁴ = [2( cos π/6 + isin π/6)]⁴

Using De Moivre’s formula,

z⁴ = 16(cos 4π/6 + isin 4π/6) 

= 16(-1/2 + i√3/2) 

= 8(-1 + i√3) 

问题 5：写出 z ¹⁰⁰⁰的 De Moivre 定理公式，其中 z = r(cos θ + isin θ)

解决方案：

z¹⁰⁰⁰ = r¹⁰⁰⁰(cos θ + isin θ)¹⁰⁰⁰

= r¹⁰⁰⁰( cos 1000 θ + isin × 1000 × θ)