寻找极限的策略

极限在微积分领域非常有用，它们成为定义许多概念（如连续性、可微性、积分和导数）的坚实基础。这些概念进一步帮助我们分析许多函数及其在微积分中的行为。极限几乎是微积分中所有概念的基础。因此，学习如何计算不同类型函数的极限以及如何处理极限的不确定形式变得至关重要。让我们看看帮助我们计算复杂函数和表达式的极限的不同方法。

限制

考虑一个函数f(x) 和一个点 x = c，该点的极限定义为当一个人从左侧或右侧接近 x = c 的值时，该函数似乎取的值-手边。函数在特定点的极限定义为，

$\lim_{x \to a}f(x)$

大多数限制可以通过简单替换函数中的点 x = a 来计算。这称为直接替换法。有时在计算限制时，我们可能会遇到一些未定义的表达式。这些是限制的不确定形式。

例如，让我们考虑一个函数f(x) = $\frac{x - 2}{x^2 - 4}$ .目标是找到该函数在 x = 2 处的极限。

$\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{x^2 - 4}$

请注意，通过直接替换，此限制采用 0/0 形式。这是未定义的，称为不确定形式。类似地，∞/∞, 1 ^∞也称为不定形式。为了解决这些形式，采用了许多策略。

解决极限的策略

有几种策略和方法可以用来找到函数的极限。哪种方法将用于哪种函数取决于几个因素。例如，函数的类型（三角函数、指数函数、多项式等）、遇到的不确定形式（∞/∞、1 ^∞ 、0/0 等）。这些东西没有固定的规则，一个人应该练习，随着不断解决各种功能的限制，它会随着经验而来。让我们看看一些解决限制的策略。

直接替代

许多限制可以通过简单地替换函数中点的值来评估。使用这种方法的必要条件是函数应该是连续的，并且极限不应该给出一些不确定的形式作为输出。

示例：考虑一个函数f(x) = x ² + 4x + 13。求$\lim_{x \to 1}f(x)$

解决方案：

$\lim_{x \to 1}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 1}x^2 + 4x + 13$

⇒$\lim_{x \to 1}1^2 + 4(1) + 13$

⇒1 +4 + 13

⇒ 18

保理和取消

有时在某些函数中，当使用代入法时，极限采用 0/0 的形式。通常在这些情况下，分子和分母中有一些共同的因素可以分解和取消。

示例：考虑一个函数f(x) = $\frac{x - 2}{x^2 - 4}$ .找$\lim_{x \to 2}f(x)$

解决方案：

$\lim_{x \to 2}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{x - 2}{x^2 - 4}$

Using substitution method, 

$\lim_{x \to 2}\frac{2 - 2}{2^2 - 4}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{0}{0}$

Now using the factoring and canceling method. 

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{1}{(x + 2)}$

⇒ $\frac{1}{4}$

正弦函数的特例

有时在评估 0/0 形式时，如果存在正弦函数。这个身份， $\lim_{x \to 0}\frac{sin(x)}{x} = 1$派上用场。

示例：考虑一个函数f(x) = $\frac{4sin(5x)}{3x}$ .找$\lim_{x \to 0}f(x)$

解决方案：

This limit is of the form 0/0. 

$\lim_{x \to 0}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{4sin(5x)}{3x}$

⇒$\lim_{x \to 0}\frac{4(5)sin(5x)}{3(5x)}$

⇒$\frac{20}{3}\lim_{x \to 0}\frac{sin(5x)}{(5x)}$

Using the identity mentioned above, 

⇒$\frac{20}{3}$

乘以最高幂的倒数

在极限和多项式函数中的∞/∞形式的情况下。这种方法可以用来解决极限。在这种情况下，分子和分母都除以函数中出现的 x 的最高幂。

示例：考虑一个函数f(x) = $\frac{x^2 + 5x + 11}{3x^2 + 2 }$ .找$\lim_{x \to \infty }f(x)$

解决方案：

This limit is of the form ∞/∞. 

$\lim_{x \to \infty }f(x)$

⇒$\lim_{x \to \infty }\frac{x^2 + 5x + 11}{3x^2 + 2 }$

⇒$\lim_{x \to \infty }\frac{x^2(1 + 5\frac{1}{x} + 11\frac{1}{x^2})}{x^2(3 + 2\frac{1}{x^2}) }$

⇒$\lim_{x \to \infty }\frac{1 + 5\frac{1}{x} + 11\frac{1}{x^2}}{3 + 2\frac{1}{x^2} }$

⇒$\frac{1 + 5(0) + 11(0)}{3 + 2(0) }$

⇒$\frac{1}{3}$

L'医院规则

此规则对于诸如 0/0 或 ∞/∞ 之类的不确定形式很有用。它可以应用的函数类别没有限制。它可以应用于使用替换方法以不确定形式计算的任何类型的函数。在这个规则中，分子和分母是微分的，直到极限以确定的形式出现。

例子：上面提到的函数，f(x) = $\frac{x - 2}{x^2 - 4}$ .找出$\lim_{x \to 2}f(x)$使用 L'Hospital 规则。

解决方案：

$\lim_{x \to 2}f(x)$

$\lim_{x \to 2}\frac{x - 2}{x^2 - 4}$

Differentiating the numerator and denominator. 

$\lim_{x \to 2}\frac{1 }{2x}$

Now this limit is not in indeterminate form, 

$\lim_{x \to 2}\frac{1 }{2(2)}$

⇒$\frac{1}{4}$

让我们看一下这些方法的更多示例。

示例问题

问题 1：考虑一个函数f(x) = x ³ + 4x ² + 1。求$\lim_{x \to 1}f(x)$

解决方案：

$\lim_{x \to 1}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 1}x^3 + 4x^2+ 1$

⇒$\lim_{x \to 1}(1)^3 + 4(1)^2+ 1$

⇒1 + 4 + 1

⇒ 6

问题 2：考虑一个函数f(x) = $\frac{x^2 - 5x + 6}{x- 2}$ .找$\lim_{x \to 2}f(x)$

解决方案：

$\lim_{x \to 2}f(x)$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 5x + 6}{x- 2}$

Using substitution method, 

$\lim_{x \to 2}\frac{2^2 - 5(2) + 6}{2- 2}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{0}{0}$

Now using the factoring and canceling method. 

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x - 3)}{x- 2}$

⇒$\lim_{x \to 2}\frac{(x - 3)}{1}$

⇒ -1

问题 3：考虑一个函数f(x) = $\frac{4x^3 + 5x^2 + 11x}{x^3 + 1 }$ .找$\lim_{x \to \infty }f(x)$

解决方案：

This limit is of the form ∞/∞. 

$\lim_{x \to \infty }f(x)$

⇒$\lim_{x \to \infty }\frac{4x^3 + 5x^2 + 11x}{x^3 + 1 }$

⇒$\lim_{x \to \infty }\frac{x^3(4 + \frac{5}{x} + \frac{11}{x^2})}{x^3(1 +\frac{1}{x^3}) }$

⇒$\lim_{x \to \infty }\frac{4 + \frac{5}{x} + \frac{11}{x^2}}{1 +\frac{1}{x^3}}$

⇒ 4

问题4：上面提到的函数，f(x) = $\frac{e^x - 1}{5x}$ .找出$\lim_{x \to 0}f(x)$使用 L'Hospital 规则。

解决方案：

$\lim_{x \to 0}f(x)$

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{5x}$

Differentiating the numerator and denominator. 

$\lim_{x \to 0}\frac{e^x}{5}$

Now this limit is not in indeterminate form, 

$\lim_{x \to 0}\frac{1}{5}$

⇒$\frac{1}{5}$

问题 5：考虑一个函数f(x) = $\frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - x +12}$ .找$\lim_{x \to 4}f(x)$

解决方案：

This limit is of the form ∞/∞. 

$\lim_{x \to \infty }f(x)$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - x +12 }$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{x^2 - 6x -4x + 24}{x^2 -4x + 3x +12 }$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{(x- 6)(x -4)}{(x -4)(x +3) }$

⇒ $\lim_{x \to 4}\frac{x-6}{x +3}$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{4-6}{4 +3}$

⇒$\frac{-2}{7}$

问题 6：考虑一个函数f(x) = $\frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - x +12}$ .找$\lim_{x \to 4}f(x)$

解决方案：

This limit is of the form ∞/∞. 

$\lim_{x \to \infty }f(x)$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - x +12 }$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{x^2 - 6x -4x + 24}{x^2 -4x + 3x +12 }$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{(x- 6)(x -4)}{(x -4)(x +3) }$

⇒ $\lim_{x \to 4}\frac{x-6}{x +3}$

⇒$\lim_{x \to 4}\frac{4-6}{4 +3}$

⇒$\frac{-2}{7}$

问题 7：考虑一个函数f(x) = $\frac{9x - 1}{3\sqrt{x} - 1}$ .找$\lim_{x \to \frac{1}{9}}f(x)$

解决方案：

This limit is of the form ∞/∞. 

$\lim_{x \to \frac{1}{9}}f(x)$

⇒$\lim_{x \to \frac{1}{9}}\frac{9x - 1}{3\sqrt{x} - 1}$

⇒$\lim_{x \to \frac{1}{9}}\frac{9(x - \frac{1}{9})}{3(\sqrt{x} - \frac{1}{3})}$

⇒$\lim_{x \to \frac{1}{9}}\frac{9(\sqrt{x} - \frac{1}{3})(\sqrt{x} + \frac{1}{3})}{3(\sqrt{x} - \frac{1}{3})}$

⇒ $\lim_{x \to \frac{1}{9}}\frac{9(\sqrt{x} + \frac{1}{3})}{3}$

⇒$\lim_{x \to \frac{1}{9}}\frac{3(\sqrt{\frac{1}{9}} + \frac{1}{3})}{1}$

⇒$\frac{3(\frac{1}{3} + \frac{1}{3})}{1}$

⇒ 2