设S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的任意集合。如果$ x \ in Co \ left(S \ right)$，则$ x \ in Co \ left(x_1，x_2，….， x_n，x_ {n + 1} \ right)$。

证明

由于$ x \ in Co \ left(S \ right)$，则$ x $由S中有限个点的凸组合表示，即

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j，\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1，\ lambda_j \ geq 0 $和$ x_j \ in S， \ forall j \ in \ left(1，k \ right)$

如果$ k \ leq n + 1 $，显然得到的结果是正确的。

如果$ k \ geq n + 1 $，则$ \ left(x_2-x_1 \ right)\ left(x_3-x_1 \ right)，…..，\ left(x_k-x_1 \ right)$是线性相关的。

$ \ Rightarrow \ exists \ mu _j \ in \ mathbb {R}，2 \ leq j \ leq k $(并非全为零)，使得$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ right)= 0 $

定义$ \ mu_1 =-\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $，然后定义$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0，\ displaystyle \ sum \ Limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

其中不是所有的\\ mu_j’s $都等于零。由于$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $，因此$ \ mu_j中的至少一个> 0,1 \ leq j \ leq k $

然后，$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left(\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right)x_j $

选择$ \ alpha $，使$ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}，\ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}，$对于某些$ i = 1,2，…，k $

如果$ \ mu_j \ leq 0，\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

如果$ \ mu_j> 0，则\：\ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0， j = 1,2，… k $

特别是$ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $，根据$ \ alpha $的定义

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left(\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right)x_j $，其中

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $和$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left(\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right)= 1 $和$ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

因此，x可以表示为最多(k-1)个点的凸组合。

可以重复进行此简化过程，直到x表示为(n + 1)个元素的凸组合。