奈奎斯特图是极坐标图的延续，用于通过将ω从-∞变为∞来找到闭环控制系统的稳定性。这意味着，奈奎斯特图用于绘制开环传递函数的完整频率响应。

奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性准则遵循论证原则。它指出，如果有P个极点且Z个零点被’s’平面闭合路径包围，则相应的$ G(s)H(s)$平面必须环绕原点$ P-Z $倍。因此，我们可以将包围数N记为

$$ N = PZ $$

• 如果封闭的“ s”平面封闭路径仅包含极点，则$ G(s)H(s)$平面中的包围方向将与封闭的“ s”平面封闭路径的方向相反。

• 如果封闭的’s’平面闭合路径仅包含零，则$ G(s)H(s)$平面中的包围方向将与’s’中的封闭闭合路径的方向相同飞机。

现在，通过将其选择为闭合路径，将论证原理应用于’s’平面的整个右半部分。所选路径称为奈奎斯特轮廓。

我们知道，如果闭环传递函数的所有极点都在“ s”平面的左半部分，则闭环控制系统是稳定的。因此，闭环传递函数的极点不过是特征方程的根。随着特征方程式的阶数增加，很难找到根。因此，让我们如下关联特征方程的这些根。

• 特征方程的极点与开环传递函数的极点相同。

• 特征方程的零点与闭环传递函数的极点相同。

我们知道，如果在s平面的右半部分没有开环极点，则开环控制系统是稳定的。

即$ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

我们知道如果’s’平面的右半部分没有闭环极点，则闭环控制系统是稳定的。

即$ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

奈奎斯特稳定性判据指出，临界点(1 + j0)周围的圆周数必须等于特征方程的极点，这不过是’s’平面右半部分中开环传递函数的极点。原点到(1 + j0)的偏移给出了特征方程平面。

奈奎斯特图的绘制规则

遵循这些规则来绘制奈奎斯特图。

• 在’s’平面中找到开环传递函数$ G(s)H(s)$的极点和零点。

• 通过将$ \ omega $从零变化到无穷大来绘制极坐标图。如果在s = 0处存在极点或零，则将0 \ omega $从0+变为无穷大以绘制极坐标图。

• 绘制的上述极坐标图的镜像对从-∞到零的$ \欧米加$的值(0 ^–如果任何极点或零点本在s = 0)。

• 无限半径半圆的数量将等于原点的极数或零。无限半径半圆将从极坐标图的镜像结束处开始。并且这个无限半径的半圆将在极坐标图开始的点处结束。

绘制Nyquist图后，我们可以使用Nyquist稳定性准则来找到闭环控制系统的稳定性。如果临界点(-1 + j0)在包围圈之外，则闭环控制系统绝对稳定。

使用奈奎斯特图进行稳定性分析

从Nyquist图中，我们可以根据这些参数的值来确定控制系统是稳定的，边际稳定的还是不稳定的。

• 增益交叉频率和相位交叉频率
• 增益裕度和相位裕度

相位交叉频率

奈奎斯特图与负实轴相交的频率(相角为180 ⁰ )称为相交频率。用$ \ omega_ {pc} $表示。

增益交叉频率

奈奎斯特曲线的幅值为1的频率称为增益交叉频率。用$ \ omega_ {gc} $表示。

下面列出了基于相位交叉频率和增益交叉频率之间关系的控制系统的稳定性。

• 如果相位交叉频率$ \ omega_ {pc} $大于增益交叉频率$ \ omega_ {gc} $，则控制系统是稳定的。

• 如果相位交叉频率$ \ omega_ {pc} $等于增益交叉频率$ \ omega_ {gc} $，则控制系统将处于稳定状态。

• 如果相位交叉频率$ \ omega_ {pc} $小于增益交叉频率$ \ omega_ {gc} $，则控制系统不稳定。

获得保证金

增益裕度$ GM $等于相位交叉频率处奈奎斯特图的幅度的倒数。

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

其中，$ M_ {pc} $是相交频率下正常标度的大小。

相位裕度

相位裕量$ PM $等于180 ⁰与增益交叉频率处的相位角之和。

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

其中，$ \ phi_ {gc} $是增益交叉频率处的相位角。

下面列出了基于增益裕度和相位裕度之间关系的控制系统的稳定性。

• 如果增益裕度$ GM $大于1并且相位裕度$ PM $为正，则控制系统是稳定的。

• 如果增益裕度$ GM $等于1且相位裕度$ PM $为零度，则控制系统在一定程度上是稳定的。

• 如果增益裕度$ GM $小于1和/或相位裕度$ PM $为负，则控制系统不稳定。