8类RD Sharma解决方案–第6章代数表达式和恒等式–练习6.6 |套装2

简介

这是一个为学习代数表达式和恒等式而设计的解决方案。它是RD Sharma教材的附带解决方案，提供对练习6.6的解答。该套装包含了多道题目和详细的解答，以帮助学生更好的理解代数表达式和恒等式的知识。

功能

该解决方案提供以下功能：

• 高效的解答：提供详细的步骤和解释，以帮助学生理解每道题目的解答。
• 多道题目：包含多道练习，让学生练习掌握代数表达式和恒等式的知识。
• 简单易用：所有解答都按照简单易懂的方式呈现，不需要高深的数学知识也能轻松理解解题思路。

使用方法

该解决方案提供了所有题目的解答，学生只需要按照以下步骤使用该套装:

1. 确定需要练习的问题的编号。
2. 在解决方案中找到对应问题的解答，阅读解答过程和解释。
3. 检查自己的答案是否正确。
4. 如有任何疑问，请参考解答中的解释或者咨询老师。

代码片段

下面是一个示例题目及其答案的代码片段：

### 练习 6.6 – 问题 2

**问题：** 如果$a,b,c$是正实数，则证明：

$$\frac{a^2(b+c)}{b^2c+c^2b} + \frac{b^2(c+a)}{c^2a+a^2c} + \frac{c^2(a+b)}{a^2b+b^2a} \geq 6$$

**解答：**

我们将分数左侧的每一项表示为以下形式：

$$\frac{a^2(b+c)}{b^2c+c^2b} = \frac{a^3}{b^2c+c^2b} + \frac{a^2bc}{b^2c+c^2b}$$

然后，我们使用AM-GM不等式对第一项求和：

$$\frac{a^3}{b^2c+c^2b}+\frac{b^3}{c^2a+a^2c}+\frac{c^3}{a^2b+b^2a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3}{(b^2c+c^2b)(c^2a+a^2c)(a^2b+b^2a)}}$$

接下来，我们可以通过简单的代数运算证明：

$$\frac{abc}{(b^2c+c^2b)(c^2a+a^2c)(a^2b+b^2a)} \geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}$$

将这个结果代入上面的不等式中，得到：

$$\frac{a^3}{(b^2c+c^2b)(a^2+b^2+c^2)}+\frac{b^3}{(c^2a+a^2c)(a^2+b^2+c^2)}+ \frac{c^3}{(a^2b+b^2a)(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3}{a^2+b^2+c^2}$$

用分数左侧第二项的值替代，得到：

$$\frac{a^2bc}{b^2c+c^2b}+\frac{b^2ac}{c^2a+a^2c}+\frac{c^2ab}{a^2b+b^2a} \geq \frac{3}{a^2+b^2+c^2}$$

将这两个结果相加，并使用$(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$的结论：

$$\frac{a^2(b+c)}{b^2c+c^2b}+\frac{b^2(c+a)}{c^2a+a^2c}+\frac{c^2(a+b)}{a^2b+b^2a} \geq \frac{3}{a^2+b^2+c^2} + \frac{3}{a+b+c}$$

由于$a,b,c$都是正实数，所以：

$$\frac{3}{a^2+b^2+c^2} + \frac{3}{a+b+c} \geq 6$$

因此，我们证明了原始不等式。

结论

该解决方案提供了高效的学习工具，以帮助学生掌握代数表达式和恒等式的知识。它为学生提供了多个练习问题和详细的解答，让学生可以轻松自如地掌握这个难点。同时，解决方案使用简单易懂的语言和格式，让学生易于理解和消化掌握。