8类RD Sharma解决方案-第六章代数表达式和恒等式-练习6.5|套装2

本篇介绍的是RD Sharma的8类解决方案之一，针对第六章代数表达式和恒等式中的练习6.5 | 套装2。本练习主要涉及代数表达式的求值、整式的乘法、不等式的证明等内容，是对前面知识点的综合练习。

RD Sharma的8类解决方案为数学学习提供了有效的指导和帮助。8类解决方案包括了解题思路、详细的解题步骤、重点难点的讲解、解题技巧等内容，适用于不同水平的学生。

练习6.5 | 套装2题目

练习6.5 | 套装2共有6道题目，涉及代数表达式的求值、整式的乘法、不等式的证明等内容。

在此只列出其中的一道题目：

问题：

如果$x-1$是多项式$f(x)$的一个因式，且$f(2)=15$，求$f(x)$。

解题思路：

根据韦达定理，如果$x-a$是多项式$f(x)$的一个因式，那么$f(a)=0$。由此，我们可以列出方程：

$$f(1)=0$$

然后，我们可以应用泰勒公式，将$f(x)$在$x=1$处展开成幂级数：

$$f(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+\frac{1}{2}(x-1)^2f''(1)+\cdots$$

由于$x-1$是$f(x)$的因式，所以$f(x)=(x-1)g(x)$，其中$g(x)$是一个不带有$x-1$这个因子的多项式。

将这个式子代入上式，有：

$$(x-1)g(x)=f(1)+(x-1)f'(1)+\frac{1}{2}(x-1)^2f''(1)+\cdots$$

化简可得：

$$g(x)=\frac{f(1)}{x-1}+f'(1)+\frac{1}{2}(x-1)f''(1)+\cdots$$

这个式子可以用于求出$g(x)$，从而得到$f(x)$。

解题步骤

以下是解决练习6.5 | 套装2中一道题目的步骤：

问题：

证明：对于任意实数$x$，有$\frac{x^2-2x}{x^2-6x+8} \ge 0$。

解题思路：

首先，注意到$x^2-6x+8=(x-4)(x-2)$。因此，不等式左侧的分式可以改写成：

$$\frac{x^2-2x}{x^2-6x+8}=\frac{x(x-2)}{(x-2)(x-4)}$$

消去分母中的$x-2$，可以得到：

$$\frac{x^2-2x}{x^2-6x+8}=\frac{x}{x-4}$$

因此，原不等式可以转化为$\frac{x}{x-4} \ge 0$。

考虑$x-4$的符号。当$x<4$时，$x-4<0$，$\frac{x}{x-4}>0$；当$x>4$时，$x-4>0$，$\frac{x}{x-4}>0$。因此，原不等式成立。

当$x=4$时，$\frac{x^2-2x}{x^2-6x+8}=\frac{8}{8}=1 \ge 0$，也满足原不等式。

因此，原不等式对任意实数$x$都成立，得证。

结语

本篇文章介绍了RD Sharma的8类解决方案之一，针对第六章代数表达式和恒等式中的练习6.5 | 套装2。相信通过本文的介绍和讲解，大家能够更好地掌握这些知识，更好地完成练习。希望大家能够在数学学习中不断进步，取得好成绩！