GATE-CS-2003 | 第 30 题介绍

这道题目考察了计算机科学中的图论。它要求我们找到一条从给定节点到另一个给定节点的最短路径，其中每个经过的节点的值都是素数。

问题描述

给定一个无向图，其中每个节点都有一个整数值。给定两个节点s和t，找出一条从s到t的最短路径，其中每个经过的节点都是素数。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以使用广度优先搜索（BFS）算法。我们从起始节点开始广度优先搜索，一次扩展一个节点，直到到达目标节点。我们只扩展值为素数的节点，并且只存储值为素数的节点到起始节点的最短距离。对于搜索到的每个节点v，我们将它的所有未曾访问的邻居u加入到队列中，并且更新u到起始节点的距离为v到起始节点的距离加上1。当我们到达目标节点t时，我们就找到了一条从s到t的最短路径，其中每个节点的值都是素数。

我们还需要找出判断一个数是否为素数的算法。我们可以使用试除法（Trial Division），即判断n是否可以被2到sqrt(n)之间的整数整除，如果都不能整除，则n是素数。这个算法的时间复杂度为O(sqrt(n))，所以我们可以处理比较小的素数。

代码实现

以下是基于Python的代码实现：

import math
from collections import deque

def is_prime(n):
    if n < 2:
        return False
    for i in range(2, int(math.sqrt(n))+1):
        if n % i == 0:
            return False
    return True

def shortest_path(start, end, graph):
    visited = set()
    distance = {}
    queue = deque([(start, 0)])
    while queue:
        node, dist = queue.popleft()
        if node in visited:
            continue
        visited.add(node)
        if node == end:
            return dist
        for neighbor in graph[node]:
            if is_prime(neighbor):
                if neighbor not in distance:
                    distance[neighbor] = dist + 1
                    queue.append((neighbor, dist + 1))
                else:
                    distance[neighbor] = min(distance[neighbor], dist + 1)
    return -1

我们使用set来记录已经访问的节点，使用一个字典distance来记录每个素数节点到起始节点的最短距离，使用deque来存储待访问的节点。在每次扩展一个节点时，我们记录当前节点到起始节点的距离dist，并将它的未曾访问的素数邻居加入到队列中。如果邻居是第一次访问，则直接将距离设为dist+1；否则将距离更新为min(current_distance, dist+1)。最后，如果我们到达目标节点t，则返回它到起始节点的距离distance[t]；否则，说明不存在一条从s到t的最短路径，返回-1。

总结

这道题目考察了计算机科学中的图论和数论知识点，包括广度优先搜索算法和素数的判断算法。我们使用BFS算法找到从给定节点到另一个给定节点的最短路径，其中每个经过的节点都是素数。这是一个不错的练习题目，可以帮助程序员更好地掌握图论和数论的知识。