门 | GATE-CS-2003 | 问题30

这道题目主要考察图的欧拉路径问题，需要我们判断一个无向图是否存在欧拉路径。

欧拉路径

欧拉路径是一条经过图中所有边一次且仅一次的路径。

解题思路

根据欧拉路径的定义，我们需要判断无向图中每个顶点的度数是否都为偶数，或者是否只有两个顶点度数为奇数。

具体操作时，我们可以使用深度优先搜索（DFS）来遍历整个图，并根据题目要求计算每个顶点的度数。若存在顶点的度数不满足要求，则该图不是欧拉图。否则，如果图是连通图，则存在欧拉回路；如果不是连通图，但是存在恰好两个顶点的度数为奇数，则存在欧拉路径。

代码实现

以下是 Python3 代码实现：

from collections import defaultdict

def is_eulerian_graph(graph):
    # 判断每个顶点的度数是否都为偶数或者只有两个顶点的度数为奇数
    odd_degree_count = 0
    for vertex in graph:
        if len(graph[vertex]) % 2 != 0:
            odd_degree_count += 1
            if odd_degree_count > 2:
                return False
    # 判断是否是连通图
    visited = set()
    dfs(graph, next(iter(graph.keys())), visited)
    if len(graph) != len(visited):
        return False
    return True

def dfs(graph, start, visited):
    visited.add(start)
    for vertex in graph[start]:
        if vertex not in visited:
            dfs(graph, vertex, visited)
            
# 示例
graph = defaultdict(list)
graph['A'] = ['B', 'C']
graph['B'] = ['A', 'C', 'D']
graph['C'] = ['A', 'B', 'D']
graph['D'] = ['B', 'C']
print(is_eulerian_graph(graph)) # True

以上代码中，我们首先使用 defaultdict 定义了一个无向图 graph，然后实现了一个判断给定无向图是否为欧拉图的函数 is_eulerian_graph。函数中，我们首先判断每个顶点度数是否符合要求；接着使用 DFS 遍历整个图，并计算已经访问过的顶点个数，判断是否为连通图。最后，根据以上两个条件来返回函数值。

总结

欧拉路径是一个经典的图论问题，并且在软件工程中还有很多相关应用。解决该问题的关键在于判断每个顶点度数是否符合要求，并使用 DFS 判断连通性。以上代码仅供参考，实际使用时还需要根据需求进行相应的修改和优化。