实数的性质是什么？
数系包括不同类型的数，例如质数、奇数、偶数、有理数、整数等。这些数可以相应地以数字和文字的形式表示。例如，40、65等以数字形式表示的数字，也可以写成40、65。
A Number system or numeral system is defined as elementary system to express numbers and figures. It is the unique way of representation of numbers in arithmetic and algebraic structure.
数字用于各种算术值，适用于执行各种算术运算，如加法、减法、乘法等，这些运算适用于日常生活中的计算目的。数字的值由数字、它在数字中的位置值以及数字系统的基数决定。
数字通常也称为数字，是用于计数、测量、标记和测量基本量的数学值。
Real Numbers are the mathematical values or figures used for the purpose measuring or calculating the quantities. It is represented by numerals as 2,4,7, etc. Some examples of numbers are integers, whole numbers, natural numbers, rational and irrational numbers, etc.
实数
实数是不包含任何虚值的集合数。它包括所有正整数、负整数、分数和十进制值。它通常用“R”表示。
所有没有虚数的负整数和正整数、小数和分数都称为实数。
Real numbers are represented by the “R” symbol. Real numbers can be explained as the union of both rational and irrational numbers. They can be both negative or positive and are denoted by the symbol “R”. All the decimals, natural numbers, and fractions come under this category. The examples below show the classification of real numerals.
Examples:
Rational numbers ⇢ – {5/3 , 0 .63 , -6/5 O.7116 ….}
Irrational numbers ⇢ -{√3, √5, √11, √21, π(Pi)}
Integers ⇢ – {-3, -2,-1,0,1,2 , 3….}
Whole numbers ⇢ -{ 0,1,2,3,4..}
Natural numbers ⇢ – {1,2,3,4….}
数字类型
有不同类型的数字被实数系统分类为集合。类型描述如下：
有理数：有理数是可以表示为两个整数之比的数。它包括所有整数，可以用分数或小数表示。它用“Q”表示。
It can be expressed as 4/3, 0 .83, -7/5, 0.7116
无理数：无理数是不能用分数或整数比表示的数字。它可以写成小数，小数点后有无穷无尽的不重复数字。它用“P”表示。
It can be expressed as √5, √11, √21,
整数：整数是一组数字，包括所有正数、零以及从负无穷到正无穷的所有负数。该集合不包括分数和小数。整数集由“Z”表示。
The set of integers can be represented as Z=………..,-5.-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,………….
十进制数：任何由小数点组成的数值都是十进制数。
It can be expressed as 2.5 ,0.567, 9.08 etc.
整数：整数是包括零在内的正数，从 0 计数到无穷大。整数不包括分数或小数。整数集由'W'表示。
The set can be represented as W=0,1,2,3,4,5,………………
自然数：自然数是从 1 到无穷大的正数。自然数集由'N'表示。这是我们通常用于计数的数字。
The set of natural numbers can be represented as N=1,2,3,4,5,6,7,…………
实数的性质
实数的主要性质是：
- 关闭属性
- 交换性质
- 关联属性
- 分配财产
- 标识元素属性
- 逆元性质
闭包属性
在实数的这个属性中，我们可以将任意两个实数相加或相乘，这也将产生一个实数。
Example: 2 + 5 = 7 and 80 + 40 = 120 for addition
6× 5 = 30 for multiplication
交换性质
它指出，数字的加法或乘法运算与顺序无关，即使交换或反转它们的位置，它也会给我们相同的结果。
或者我们可以说加法或乘法的位置可以改变，但会得到相同的结果。
该属性对加法和乘法有效，对减法和除法无效。
x + y = y + x or x.y = y.x
Example:
If we add 6 in 2 or add 2 in 6 results will be same If we multiply both the real number
6 + 2 = 8 = 2 + 6 6 × 5=30 = 5 × 6
关联属性
该属性表明，当三个或更多数字相加（或相乘）或总和（或乘积）相同时，无论加数（或被乘数）的分组如何。
只要不改变数字的顺序，执行操作的加法或乘法顺序无关紧要。这被定义为关联属性。
也就是说，以不会改变其值的方式重新排列数字。
(x + y) + z = x + (y + z) and (x.y).z = x.(y.z)
Example: (4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6) (2 × 5) × 6 = 2 × (5 × 6)
15 = 15 60 = 60
As you can see even after changing their order, it gives the same result in both the operations adding as well as multiplication.
分配财产
这个属性帮助我们简化数字乘以和或差的过程。它分布表达式，因为它简化了计算。
x × (y + z) = x × y + x × z and x × (y – z) = x × y – x × z
Example: Simplify 4 × (5 + 6)
= 4 × 5 + 4 × 6
= 20 + 24
= 44
It applies same for the subtraction also
标识元素属性
这是一个元素，当与它们组合时，其他元素保持不变。加法运算的单位元为 0，乘法的单位元为 1。
For addition, a + 0 = a and for multiplication a.0 = 0
Example: For addition, if a = 6
a + 0 = 6 + 0 = 6
and for multiplication if a = 6
a.0 = 6.0 = 0
逆元
数字“a”的倒数，用1/a表示，是一个数字，当它与“a”相乘时，得到乘法恒等式 1。
The multiplicative inverse of a fraction: a/b is b/a
数字“a”的加法逆元是当添加到“a”时，结果为零的数字。这个数字也称为加法逆或相反（数字）、符号变化和否定。
或者我们可以说，对于一个实数，它将其符号从正数反转为负数，将负数反转为正数。零本身就是加法逆。
Example: Reciprocal of 7 is 1/7 and additive inverse of 7 is -7
示例问题
问题 1：举一些交换性质的例子？
回答：
For addition For multiplication
8 + 3 = 3 + 8 = 11 12 × 5 = 5 × 12 = 60
26 + 11 = 11 + 26 = 37 2 × 5 = 5 × 2 = 10
问题 2：用分配性化简 70 × (20 + 9)？
回答：
As per the distributive property
= 70 × 20 + 70 × 9
= 1400 + 630
= 2030
问题3：通过关联属性简化或验证
(30 + 60) + 7 = 30 + (60 + 7)
回答：
As per the property
(30 + 60) + 7 = 30 + (60 + 7)
90 + 7 = 30 + 67
97 = 97
Hence verified