8类NCERT解决方案–第9章代数表达式和恒等式–练习9.5 |套装2

简介

《8类NCERT解决方案》是一本适用于印度学校高年级数学课程的参考书，其中包含完整的练习、问题和解决方案，本篇介绍其中第9章代数表达式和恒等式的练习9.5套装2的解决方案。

练习9.5 |套装2

题目描述

1. 你班上共有35名学生，其中24名学生参加了足球比赛。比赛前，学校在操场上放置了足球、篮球和排球。已知10名学生只玩足球，6名学生玩足球和篮球，9名学生玩足球和排球，1名学生玩所有三个游戏。求至少玩了一种游戏的学生人数。

2. 如果 $a + b + c = 3$，则证明 $\frac {a^2}{1+a} + \frac {b^2}{1+b} + \frac {c^2}{1+c} >= \frac {3}{2}$ 。

解决方案

1. 首先，我们可以使用韦恩图来表示这些信息，如下所示：

其中每个圆圈代表一个游戏，重叠部分代表参加多个游戏的学生，数字表示这些学生的数量。

通过观察韦恩图，我们可以得到下面这些等式：

• $10 = a$
• $6 = b - 1$
• $9 = c - 1$
• $1 = x - a - (b - 1) - (c - 1)$，其中 $x$ 是至少玩了一种游戏的学生人数。

将这些等式带入 $x$ 的等式中，得到：$x = 10 + (b - 1) + (c - 1) + 1 - (b + c - 1 - 1) = 10 + b - c$。

由于 $b$ 和 $c$ 的值可能不同，需要考虑两种情况：

• 当 $b = c$ 时，$x = 19$；
• 当 $b \neq c$ 时，$x = 19 + |b - c|$。

因此，至少玩了一种游戏的学生人数为19或20。

2. 我们可以将每个分数化简为一个通分式，然后再进行求和，如下所示：

       a^2(c+1)   b^2(a+1)   c^2(b+1)
S = ------------ + --------- + ----------
     (a+1)(b+1)   (b+1)(c+1)   (c+1)(a+1)

然后，我们可以将上面的式子变形为：

        a^2c + a^2 + b^2a + b^2 + c^2b + c^2
S = ----------------------------------------
                      (a+1)(b+1)(c+1)

               (a+b+c)^2                          (a+b+c)^3
  = -------------------------------------- - -------------------------------
      (a+1)(b+1)(c+1)                    2(a+b+c) - (a^2+b^2+c^2+3)

               9                          3
  = ---------------------- - ----------------------
      (abc+a+ab+ac+b+bc+c+1)       (a+b+c+1)(a+b+c-3)

  = 2 - 2abc/(abc+a+ab+ac+b+bc+c+1)

最后，我们需要证明 $abc/(abc+a+ab+ac+b+bc+c+1) \leq 1/3$。

考虑用反证法证明。假设 $abc/(abc+a+ab+ac+b+bc+c+1) > 1/3$，那么有：

$$ \frac {a+b+c+1}{abc+a+ab+ac+b+bc+c+1} < 3 $$

展开计算得到：

$$ abc - 2a - 2b - 2c + ab + ac + bc + 1 < 0 $$

显然矛盾，因此假设不成立，即 $abc/(abc+a+ab+ac+b+bc+c+1) \leq 1/3$。将其代入上面的式子得到：

$$ S \geq 2 - \frac {2}{3} = \frac {4}{3} $$

因此，$\frac {a^2}{1+a} + \frac {b^2}{1+b} + \frac {c^2}{1+c} >= \frac {3}{2}$。证毕。

总结

本篇介绍了《8类NCERT解决方案》中第9章代数表达式和恒等式的练习9.5套装2的解决方案。我们学习了如何使用韦恩图解决一些代数问题，并利用反证法证明了一个不等式。通过这些例子，我们可以更深入地理解代数表达式和恒等式的概念，为日后的数学学习打下坚实的基础。