8类RD Sharma解决方案-第六章代数表达式和恒等式-练习6.2

简介

《RD Sharma数学教材》是印度著名的数学教材，以严谨的数学知识和深入浅出的讲解著称。对于初高中生学习数学来说，是十分优秀的教材。

本项目是针对RD Sharma数学教材中代数表达式和恒等式一章的第二节练习6.2的解答整理。主要介绍了该节练习的所有题目和题目的解答思路。

内容

题目1

如果$a+b+c=0$，那么$(a^3+b^3+c^3-3abc)=?$

解答

我们将$(a+b+c)^3$展开并化简得到：$a^3+b^3+c^3+3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+6abc$

而由题可知 $a+b+c=0$，故 $a+b=-c$，$a+c=-b$，$b+c=-a$。

将其代入上面化简的式子：$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$

故答案为 $0$。

题目2

如果$a+b+c=0$，那么$(a^5+b^5+c^5-5abc(a^2+b^2+c^2)+5a^2b^2+5b^2c^2+5c^2a^2)=?$

解答

利用题目提示的条件，我们将$(a+b+c)^5$展开并化简得到：

$a^5+b^5+c^5+5(a+b)(b+c)(c+a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)-10abc(a^3+b^3+c^3)-20a^2b^2c^2$

再将 $(a+b)(b+c)(c+a)$ 展开并代入：$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a+3abc$

得到：$a^5+b^5+c^5+5(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a+b+c)-10abc(a^3+b^3+c^3)-20a^2b^2c^2$

注意到 $(a+b+c)=0$，所以：$a^5+b^5+c^5+5(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a+b+c)-10abc(a^3+b^3+c^3)-20a^2b^2c^2=5(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a+b+c)=0$

故答案为 $0$。

题目3

给定 $a+b+c=0$，求证：$a^3b+b^3c+c^3a=3abc$

解答

将 $(a+b+c)=0$ 求出 $c=-a-b$，则原式变成：

$a^3b+b^3(-a-b)+(-a-b)^3a=a^3b-ab^3-a^3b-3a^2b^2-b^3a-a^3b-b^3a-2a^2b^2$

$=-2a^2b^2-ab(a^2+b^2)-a^3b-b^3a=-2a^2b^2+ab(a^2+b^2)-ab(a^2+b^2)=3ab(a^2+b^2)$

又由 $a+b+c=0$ 得到 $ab+bc+ca=-a^2-b^2-c^2=-a^2-b^2-(a+b)^2=-2(a^2+ab+b^2)$

故原式等于：$a^3b+b^3c+c^3a=a^3b-ab^3-a^3b-3a^2b^2-b^3a-a^3b-b^3a-2a^2b^2=-2a^2b^2+ab(a^2+b^2)-ab(a^2+b^2)=3ab(a^2+b^2)$

$=\frac{-3ab(ab+ac+bc)}{2}=-3abc(a+b+c)=3abc$。

故原式成立。

结尾

通过对RD Sharma数学教材中代数表达式和恒等式第二节练习6.2的解答整理，我们加深了对高中数学代数的理解和运用，也为今后更深入的数学学习和研究打下了坚实的基础。