通过将两个变量x和y与逻辑AND运算相结合，我们将获得四个布尔乘积项。这些布尔乘积项称为最小乘积项或标准乘积项。最小项是x’y’，x’y，xy’和xy。

同样，通过将两个变量x和y与逻辑或运算相结合，我们将获得四个布尔和项。这些布尔和项称为Max项或标准和项。最大项是x + y，x + y’，x’+ y和x’+ y’。

下表显示了两个变量的最小项和最大项。

如果二进制变量为“ 0”，则它以最小项表示为变量的补码，以最大项表示为变量本身。类似地，如果二进制变量为“ 1”，则在最大值项中表示为变量的补数，在最小值项中表示为变量本身。

从上表中，我们可以很容易地注意到最小项和最大项是互补的。如果存在“ n”个布尔变量，则将有2 ^n个最小项和2 ^n个最大项。

典型的SoP和PoS表格

真值表由一组输入和输出组成。如果存在“ n”个输入变量，则将有2 ^n个可能的组合，零和一。因此，每个输出变量的值取决于输入变量的组合。因此，每个输出变量对于输入变量的某种组合将具有“ 1”，对于输入变量的某些其他组合将具有“ 0”。

因此，我们可以通过以下两种方式表达每个输出变量。

• 标准SoP表格
• 规范PoS形式

标准SoP表格

规范SoP表格是指规范产品总和表格。以这种形式，每个乘积项都包含所有字面量。因此，这些乘积项仅是最小项。因此，规范的SoP形式也称为最小项之和形式。

首先，确定输出变量为1的最小项，然后对这些最小项进行逻辑或，以获得与该输出变量相对应的布尔表达式(函数)。此布尔函数将采用最小项之和的形式。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也要遵循相同的步骤。

例

考虑下面的真值表。

在此，对于四个输入组合，输出(f)为’1’。相应的最小项是p’qr，pq’r，pqr’，pqr。通过对这四个最小项进行逻辑或运算，我们将获得输出(f)的布尔函数。

因此，输出的布尔函数为：f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr。这是输出f的规范SoP形式。我们还可以用以下两种表示法来表示此函数。

$$ f = m_ {3} + m_ {5} + m_ {6} + m_ {7} $$

$$ f = \ sum m \ left(3,5,6,7 \ right)$$

在一个方程式中，我们将函数表示为各个最小项的和。在其他方程式中，我们使用符号对这些最小项求和。

规范PoS形式

规范PoS形式表示“和”的规范乘积形式。以这种形式，每个和项都包含所有字面量。因此，这些和项仅是Max项。因此，规范PoS形式也称为Max条款形式的乘积。

首先，确定输出变量为零的Max项，然后对这些Max项进行逻辑与，以获取与该输出变量相对应的布尔表达式(函数)。此布尔函数将采用Max项的乘积形式。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也要遵循相同的步骤。

例

考虑与前面示例相同的真值表。在此，对于四个输入组合，输出(f)为’0’。对应的最大项是p + q + r，p + q + r’，p + q’+ r，p’+ q + r。通过对这四个Max项进行逻辑与，我们将获得输出(f)的布尔函数。

因此，输出的布尔函数为f =(p + q + r)。(p + q + r’)。(p + q’+ r)。(p’+ q + r)。这是输出的标准PoS形式f。我们还可以用以下两种表示法来表示此函数。

$$ f = M_ {0} .M_ {1} .M_ {2} .M_ {4} $$

$$ f = \ prod M \ left(0,1,2,4 \ right)$$

在一个方程式中，我们将函数表示为各个Max项的乘积。在其他方程式中，我们使用符号对那些Max项进行乘法。

布尔函数f =(p + q + r)。(p + q + r’)。(p + q’+ r)。(p’+ q + r)是布尔函数f的对偶p’qr + pq’r + pqr’+ pqr。

因此，规范SoP和规范PoS形式都是双重的。从功能上讲，这两种形式是相同的。根据要求，我们可以使用这两种形式之一。

标准SoP和PoS表格

我们讨论了表示布尔输出的两种规范形式。同样，有两种表示布尔输出的标准形式。这些是规范形式的简化版本。

• 标准SoP表格
• 标准PoS表格

我们将在后面的章节中讨论逻辑门。标准形式的主要优点是可以减少施加到逻辑门的输入数量。有时，所需逻辑门的总数会减少。

标准SoP表格

标准SoP表格是指标准产品总和表格。以这种形式，每个乘积项不必包含所有字面量。因此，乘积项可能不是最小项。因此，标准SoP形式是规范SoP形式的简化形式。

我们将分两步获得标准SoP形式的输出变量。

• 获取输出变量的规范SoP形式
• 简化上述布尔函数，它是规范的SoP形式。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也要遵循相同的步骤。有时，可能无法简化规范的SoP形式。在这种情况下，规范和标准SoP形式都相同。

例

将以下布尔函数转换为Standard SoP形式。

f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr

给定的布尔函数为标准SoP形式。现在，我们必须简化此布尔函数以获得标准的SoP形式。

步骤1-使用布尔假设，x + x = x。这意味着，任何布尔变量“ n”次的逻辑或运算将等于同一变量。因此，我们可以再写两次最后一项pqr。

⇒f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr + pqr + pqr

第2步-对于1^次和^第4^次方面，^第2和^第5方面，^第3和^第6方面使用分配律。

⇒f = qr(p’+ p)+ pr(q’+ q)+ pq(r’+ r)

步骤3-使用布尔假设，x + x’= 1来简化每个括号中的项。

⇒f = qr(1)+ pr(1)+ pq(1)

步骤4-使用布尔假设，x.1 = x来简化上述三个项。

⇒f = qr + pr + pq

⇒f = pq + qr + pr

这是简化的布尔函数。因此，对应于给定的规范SoP的形式的标准SoP的形式为f = PQ + QR + PR

标准PoS表格

标准PoS表格是指“汇总”标准产品。以这种形式，每个总和项不必包含所有字面量。因此，总和项可能不是最大项。因此，标准PoS形式是规范PoS形式的简化形式。

我们将分两步获得标准PoS形式的输出变量。

• 获取输出变量的规范PoS形式
• 简化上述布尔函数(采用标准PoS形式)。

如果有多个输出变量，则对其他输出变量也要遵循相同的步骤。有时，可能无法简化规范的PoS形式。在这种情况下，规范和标准PoS形式都相同。

例

将以下布尔函数转换为标准PoS形式。

f =(p + q + r)。(p + q + r’)。(p + q’+ r)。(p’+ q + r)

给定的布尔函数采用规范PoS形式。现在，我们必须简化此布尔函数以获得标准的PoS形式。

步骤1-使用布尔假设，xx = x。这意味着，任何布尔变量“ n”次的逻辑与运算将等于同一变量。因此，我们可以再写两次第一项p + q + r。

⇒f =(p + q + r)。(p + q + r)。(p + q + r)。(p + q + r’)。(p + q’+ r)。(p’+ q + r)

步骤2 -使用分配律，X +(YZ)=(X + Y)(X + Z)为1^次和^第4^次括号，^第2和^第5括号，3^次和^第6^个括号。

⇒f =(p + q + rr’)。(p + r + qq’)。(q + r + pp’)

步骤3-使用布尔假设，xx’= 0来简化每个括号中的项。

⇒f =(p + q + 0)。(p + r + 0)。(q + r + 0)

步骤4-使用布尔假设，x + 0 = x来简化每个括号中的项

⇒f =(p + q)。(p + r)。(q + r)

⇒f =(p + q)。(q + r)。(p + r)

这是简化的布尔函数。因此，标准的PoS形成对应于给定的规范的PoS形式为f =(P + Q)。(Q + R)。(P + R)。这是布尔函数f的对偶，即f = pq + qr + pr。

因此，标准SoP和标准PoS形式都互为对偶。