在前面的章节中，我们使用布尔假说和定理简化了布尔函数。这是一个耗时的过程，我们必须在每个步骤之后重新编写简化的表达式。

为了克服这个困难，卡诺(Karnaugh)引入了一种简单的方法来简化布尔函数。该方法被称为卡诺图方法或K-图方法。这是一种图形方法，由2^个n个变量单元组成。相邻单元仅在单个位位置上有所不同。

2至5个变量的K映射

K-Map方法最适合将2个变量更改为5个变量的布尔函数。现在，让我们一一讨论关于2到5个变量的K映射。

2可变K图

2个变量K映射中的像元数为4，因为变量数为2。下图显示了2个变量K-Map 。

• 分组4个相邻的最小项的可能性只有一种。

• 将2个相邻的最小项分组的可能组合是{(m ₀ ，m ₁ )，(m ₂ ，m ₃ )，(m ₀ ，m ₂ )和(m ₁ ，m ₃ )}。

3可变K图

3个变量K映射中的像元数为8，因为变量数为3。下图显示了3个变量K-Map 。

• 将8个相邻的最小项分组的可能性只有一种。

• 将4个相邻的最小项分组的可能组合是{(m ₀ ，m ₁ ，m ₃ ，m ₂ )，(m ₄ ，m ₅ ，m ₇ ，m ₆ )，(m ₀ ，m ₁ ，m ₄ ，m ₅ )，(m ₁ ，m ₃ ，m ₅ ，m ₇ )，(m ₃ ，m ₂ ，m ₇ ，m ₆ )和(m ₂ ，m ₀ ，m ₆ ，m ₄ )}。

• 将2个相邻的最小项分组的可能组合是{(m ₀ ，m ₁ )，(m ₁ ，m ₃ )，(m ₃ ，m ₂ )，(m ₂ ，m ₀ )，(m ₄ ，m ₅ ) ，(m ₅ ，m ₇ )，(m ₇ ，m ₆ )，(m ₆ ，m ₄ )，(m ₀ ，m ₄ )，(m ₁ ，m ₅ )，(m ₃ ，m ₇ )和( m ₂ ，m ₆ )}。

• 如果x = 0，则3个变量K-map变为2个变量K-map。

4可变K图

由于变量数为4，因此4个变量K映射中的像元数为16。下图显示了4个变量K-Map 。

• 将16个相邻的最小项分组的可能性只有一种。

• 令R ₁ ，R ₂ ，R ₃和R _4分别表示第一行，第二行，第三行和第四行的最小项。类似地，C ₁ ，C ₂ ，C ₃和C _4分别表示第一列，第二列，第三列和第四列的最小值。将8个相邻的最小项分组的可能组合是{(R ₁ ，R ₂ )，(R ₂ ，R ₃ )，(R ₃ ，R ₄ )，(R ₄ ，R ₁ )，(C ₁ ，C ₂ ) ，(C ₂ ，C ₃ )，(C ₃ ，C ₄ )，(C ₄ ，C ₁ )}。

• 如果w ＝ 0，则4个变量K图变成3个变量K图。

5可变K图

由于变量数为5，所以5个变量K-map中的像元数为32。下图显示了5个变量K-Map 。

• 将32个相邻的最小项分组的可能性只有一种。

• 分组16个相邻的最小项有两种可能性。即，将最小项从m ₀到m ₁₅以及m ₁₆到m ₃₁分组。

• 如果v = 0，则5个变量K-map变为4个变量K-map。

在以上所有K-map中，我们仅使用最小术语表示法。同样，您可以专门使用“最大”术语表示法。

使用K映射最小化布尔函数

如果考虑布尔函数为“ 1”的输入的组合，则在简化K-map后，我们将得到布尔函数，它是乘积形式的标准和。

类似地，如果我们考虑布尔函数为“ 0”的输入的组合，那么我们将得到布尔函数，该布尔函数在简化K映射后为求和形式的标准乘积。

请遵循以下规则来简化K-map ，以获取标准的产品总和表格。

• 根据布尔函数存在的变量数选择相应的K-map。

• 如果布尔函数以最小项之和形式给出，则将其放在K映射中的各个最小项单元格中。如果布尔函数作为乘积和形式给出，则将其放在给定乘积项对其有效的K-map的所有可能单元格中。

• 检查是否可以将最大数量的相邻分组。应该是二的幂。从最大2的幂开始，直到最小2的幂。最高功效等于K-map中考虑的变量数量，最低功效为零。

• 每个分组将给出字面量或一个乘积项。它被称为素蕴。如果至少一个单字母“ 1”没有被任何其他分组所覆盖，而仅被该分组覆盖，则该素数被称为必不可少的素数。

• 记下所有主要蕴涵和必要的主要蕴涵。简化的布尔函数包含所有必需的素数蕴涵，而仅包含所需的素数蕴涵。

注1-如果未为输入的某种组合定义输出，则这些输出值将用无关符号’x’表示。这意味着，我们可以将它们视为“ 0”或“ 1”。

注2-如果也存在无关紧要的术语，则将无关紧要的’x’放置在K-map的各个单元格中。仅考虑无关紧要的“ x”，它有助于对最大相邻数目进行分组。在这种情况下，请将“忽略”值视为“ 1”。

例

让我们使用K-map简化以下布尔函数f(W，X，Y，Z)= WX’Y’+ WY + W’YZ’ 。

给定的布尔函数是乘积形式的总和。它具有4个变量W，X，Y和Z。因此，我们需要4个变量K-map 。下图显示了带有对应于给定乘积项的4个变量K映射。

在这里，将1放置在K-map的以下单元格中。

• 第4行与第1和2列的交点共有的单元格对应于乘积项WX’Y’ 。

• 第3行和第4行与第3和4列的交点共有的单元格对应于乘积项WY 。

• 第1行和第2行与第4列的交点共有的单元格对应于乘积项W’YZ’ 。

无法将16个相邻的分组或8个相邻的分组。有将4个相邻的分组的三种可能性。在这三个分组之后，没有一个分组。因此，我们无需检查2个相邻的分组。下图显示了具有这三个分组的4变量K图。

在这里，我们得到了三个主要蕴涵WX’，WY和YZ’。由于以下原因，所有这些主要隐含元素都是必不可少的。

• 第四行分组中的两个(m ₈和m ₉ )未被其他分组覆盖。只有第四行分组涵盖了这两个分组。

• 正方形分组中的一个(m ₁₅ )未被任何其他分组覆盖。只有方形分组覆盖了该分组。

• 第四列分组中的两个(m ₂和m ₆ )未包含在任何其他分组中。只有第四列分组涵盖了这两个分组。

因此，简化的布尔函数为

f = WX’+ WY + YZ’

请遵循以下规则来简化K-map ，以获取总和形式的标准乘积。

• 根据布尔函数存在的变量数选择相应的K-map。

• 如果布尔函数作为最大项形式的乘积给出，则将零放置在K映射中的相应最大项单元处。如果布尔函数作为求和形式的乘积给出，则将零放在给定和项有效的K-map的所有可能单元中。

• 检查将相邻零的最大数目分组的可能性。应该是二的幂。从最大2的幂开始，直到最小2的幂。最高功效等于K-map中考虑的变量数量，最低功效为零。

• 每个分组将给出字面量或一个总和项。它被称为素蕴。如果至少单个单个“ 0”没有被任何其他分组覆盖，而是仅由该分组覆盖，则素数蕴涵素被认为是必不可少的素数蕴涵素。

• 记下所有主要蕴涵和必要的主要蕴涵。简化的布尔函数包含所有必需的素数蕴涵，而仅包含所需的素数蕴涵。

注-如果也存在无关紧要的术语，则将无关紧要的“ x”放在K-map的各个单元格中。只考虑对分组最大相邻零数有用的“ x”。在这种情况下，请将“忽略”值视为“ 0”。

例

让我们使用K-map简化以下布尔函数$ f \ left(X，Y，Z \ right)= \ prod M \ left(0,1,2,4 \ right)$。

给定的布尔函数是Max条件形式的乘积。它具有3个变量X，Y和Z。因此，我们需要3个变量K-map。给定的最大项是M ₀ ，M ₁ ，M ₂和M ₄ 。下图显示了3个变量K-map ，其零对应于给定的Max项。

无法将8个相邻零或4个相邻零分组。分组2个相邻零的三种可能性。在这三个分组之后，没有单个零作为未分组。下图显示了具有这三个分组的3变量K图。

在这里，我们得到了三个素数蕴含项X + Y，Y + Z和Z +X。所有这些素蕴含项都是必不可少的，因为每个分组中的一个零除其各自的分组以外，未被任何其他分组覆盖。

因此，简化的布尔函数为

f =(X + Y)。(Y + Z)。(Z + X)

这样，我们可以使用K-map方法轻松地将布尔函数简化为最多5个变量。对于超过5个变量，很难使用K-Maps简化功能。因为，在K-地图细胞的数量被通过包括一个新的变量一倍。

由于这种检查和分组，相邻的一个(最小项)或相邻的零(最大的项)将很复杂。我们将在下一章讨论表格方法，以克服K-map方法的困难。