📅 最后修改于: 2021-01-08 05:41:04 🧑 作者: Mango
布尔代数是一个代数，它处理二进制数和二进制变量。因此，它也被称为二进制代数或逻辑代数。一位名为George Boole的数学家在1854年开发了此代数。该代数中使用的变量也称为布尔变量。
对应于逻辑“高”的电压范围用“ 1”表示，对应于逻辑“低”的电压范围用“ 0”表示。
在本节中，让我们讨论布尔代数和布尔代数中使用的基本定律。这些对于最小化布尔函数很有用。
考虑二进制数字0和1，布尔变量(x)及其补码(x’)。布尔变量或其补码称为字面量。这些字面量和二进制数字中的四个可能的逻辑或运算如下所示。
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x’= 1
类似地，下面显示了这些字面量和二进制数字中的四个可能的逻辑与运算。
x.1 = x
x.0 = 0
xx = x
xx’= 0
这些是简单的布尔假设。通过将布尔变量替换为’0’或’1’，我们可以轻松地验证这些假设。
注–任何布尔变量的补码的补码等于变量本身。即(x’)’= x。
以下是布尔代数的三个基本定律。
如果两个布尔变量的任何逻辑运算都给出相同的结果，而与这两个变量的顺序无关，则该逻辑运算被称为Commutative 。两个布尔变量x和y的逻辑或与逻辑与运算如下所示
x + y = y + x
xy = yx
符号“ +”表示逻辑或运算。同样，符号“。”表示逻辑与运算，表示是可选的。交换律遵守逻辑或与逻辑与运算。
如果首先执行任意两个布尔变量的逻辑运算，然后对其余变量给出相同的结果执行相同的运算，则该逻辑运算被称为Associative 。下面显示了三个布尔变量x，y和z的逻辑或与逻辑与运算。
x +(y + z)=(x + y)+ z
x。(yz)=(xy).z
逻辑或与逻辑与操作遵守关联法。
如果可以将任何逻辑运算分配给布尔函数存在的所有术语，则该逻辑运算被称为分配式。下面显示了三个布尔变量x，y和z的逻辑或＆逻辑与运算的分布。
x。(y + z)= xy + xz
x +(yz)=(x + y)。(x + z)
逻辑或或逻辑与操作遵守分配律。
这些是布尔代数的基本定律。通过将布尔变量替换为“ 0”或“ 1”，我们可以轻松地验证这些定律。
在布尔代数中使用以下两个定理。
该定理指出，布尔函数的对偶是通过将逻辑AND运算符与逻辑OR运算符以及零与1互换而获得的。对于每个布尔函数，都会有一个对应的对偶函数。
让我们将在布尔假说和基本定律这一节中讨论的布尔方程(关系)分为两组。下表显示了这两组。
| Group1 | Group2 |
|---|---|
| x + 0 = x | x.1 = x |
| x + 1 = 1 | x.0 = 0 |
| x + x = x | x.x = x |
| x + x’ = 1 | x.x’ = 0 |
| x + y = y + x | x.y = y.x |
| x + (y + z) = (x + y) + z | x.(y.z) = (x.y).z |
| x.(y + z) = x.y + x.z | x + (y.z) = (x + y).(x + z) |
在每一行中，都有两个布尔方程，并且它们彼此对偶。我们可以使用对偶定理来验证Group1和Group2的所有这些布尔方程。
这个定理对于寻找布尔函数的补子是有用的。它指出至少两个布尔变量的逻辑或的补码等于每个互补变量的逻辑与。
具有2个布尔变量x和y的DeMorgan定理可以表示为
(x + y)’= x’.y’
上述布尔函数的对偶是
(xy)’= x’+ y’
因此，两个布尔变量的逻辑与的补码等于每个互补变量的逻辑或。同样，我们也可以将DeMorgan定理应用于两个以上的布尔变量。
到目前为止，我们讨论了布尔代数的假设，基本定律和定理。现在，让我们简化一些布尔函数。
让我们简化布尔函数，f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr
我们可以通过两种方法简化此函数。
方法1
给定布尔函数，f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr。
步骤1-在第一和第二项中，r是共同的，而在第三和第四项中，pq是共同的。因此，使用分配法则来采用通用术语。
⇒f =(p’q + pq’)r + pq(r’+ r)
步骤2-第一括号中的术语可以简化为异或运算。使用布尔假说可以将第二个括号中的术语简化为“ 1”
⇒f =(p⊕q)r + pq(1)
步骤3-第一项不能进一步简化。但是，第二项可以使用布尔假说简化为pq。
⇒f =(p⊕q)r + pq
因此，简化的布尔函数为f =(p⊕q)r + pq
方法2
给定布尔函数，f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr。
步骤1-使用布尔假设，x + x = x。这意味着，任何布尔变量“ n”次的逻辑或运算将等于同一变量。因此，我们可以再写两次最后一项pqr。
⇒f = p’qr + pq’r + pqr’+ pqr + pqr + pqr
第2步-对于1次和第4次方面，第2和第5方面，第3和第6方面使用分配律。
⇒f = qr(p’+ p)+ pr(q’+ q)+ pq(r’+ r)
步骤3-使用布尔假设，x + x’= 1来简化每个括号中的项。
⇒f = qr(1)+ pr(1)+ pq(1)
步骤4-使用布尔假设，x.1 = x简化上述三个项。
⇒f = qr + pr + pq
⇒f = pq + qr + pr
因此，简化的布尔函数为f = pq + qr + pr 。
因此，在每种方法中简化给定的布尔函数后，我们得到了两个不同的布尔函数。从功能上讲，这两个布尔函数是相同的。因此，根据需求，我们可以选择这两个布尔函数之一。
让我们找到布尔函数f的补数f = p’q + pq’。
布尔函数的补码为f’=(p’q + pq’)’。
步骤1-使用德摩根定理(x + y)’= x’.y’。
⇒f’=(p’q)’。(pq’)’
第2步-使用德摩根定理(xy)’= x’+ y’
⇒f’= {((p’)’+ q’}。{p’+(q’)’}
步骤3-使用布尔假设，(x’)’= x。
⇒f’= {p + q’}。{p’+ q}
⇒f’= pp’+ pq + p’q’+ qq’
步骤4-使用布尔假设xx’= 0。
⇒f = 0 + pq + p’q’+ 0
⇒f = pq + p’q’
因此，布尔函数p’q + pq’的补码为pq + p’q’ 。