题目描述

门问题是著名的程序设计问题，通常给出一组输入和一对输出， 通过给定的输入以某种规则转换成输出。这个问题的挑战在于能否用最少的逻辑门实现这个转换过程。本题是 Gate 2000年计算机科学类的入学考试题目第16题。

给出一个4位2进制整数，其中高两位代表十进制数字n（0 <= n <= 3），低两位代表十进制数字m（0 <= m <= 3）。将该数除2取整。

例如：当该数为0110时，它代表的二进制数是6（n=1，m=2）， 那么答案为3（6÷2）。

请写出一个最小化逻辑门数目的电路设计 （你可以使用与、或、非门）。

解题思路

题目要求我们将4位的2进制整数除以2取整，其中高两位代表十进制数字n（0 <= n <= 3），低两位代表十进制数字m（0 <= m <= 3），我们可以通过简单的数学运算得到结果。

首先把n的二进制表示左移一位，再加上m，得到除以2取整后的结果。

例如，对于0110，它代表的十进制数是6，左移一位得到1100，再加上0010，得到1110，即14。

电路设计如下：

输入：  A     B     C     D
             ↓      ↓      ↓      ↓
        +-----+-----+-----+-----+
        |     |     |     |     |            |     |     |     |     |            |     |     |     |     |
        |     |     | NAND+-----o------------+-----o-----o-----o-------o-------o-----o-----o-----+
        |     |  B  |     |     |            |     |     |     |      |     |             |     |     |     |
        |     |     |     |     |            |     |     |     |      |     |             |     |     |     |
        | NAND+-----o-----+-----o------+-----o-----o-----+-----+      | NAND+------+------+-----o-----+-----+
        |     |     |  D  |     |            |     |     |     |      |     |             |     |     |     |
        |     |     |     |     |            |     |     |     |      |     |             |     |     |     |
        +-----o-----+-----o-----+------+------+-----o-------+------+----+-----+-----+-----o-----o-----+
               |     |     |     |                                 |     |     |     |     |
               |     | NAND+--------------------+--------+--------+-----o-----o-----o-----+
               |     |     |                                 |     |     |     |     |
               |     | NAND+-----+------+-----+------+-----+     |     |     |     |     |           |     |           |     |
               |  C  |     |     | NAND+-----+      | NAND+-----o-----+-----+---o-----+-----+     | NAND+-----o-------o
               |     |     |     |      |            |     |     |     |             |     |     |      |          |
               |     |     |     |      |            |     |     |     |             |     |     |      |          |
               +-----o-----+-----o------+------------o-------o-----o-------------o-------+------+------+-----+
                     |     |     |                                             |     |      |     |
                    NOT    |     |                                            NOT   |      |     |
                         \|/        +--------------------------------------+       \|/     |     |
                          o                                                      o------+-----+
                          |                                                      |
                          V                                                      |
                                                                                   o
                                                                                   |
                                                                                   V
                                                                                输出： E     F     G     H

这是一个4位电路，由两个NAND门和两个NOT门组成，可以通过最少的逻辑门实现。

总结

本题是一个经典的逻辑门问题，需要我们巧妙地设计电路，使用最少的逻辑门实现除以2取整的运算。在设计时，需要善于运用二进制数学运算和逻辑门的特性，可以写出简洁而高效的电路。