如何使用 DeMoivre 定理求 i ^√3的值？

复数可以称为实数和虚数的总和，通常以 z = a + ib 的形式书写或表示，其中 i (iota) 是虚数部分，表示 √(-1)。复数通常以其矩形或标准形式表示为 a + ib。例如，69 + 25i 是一个复数，其中 100 是实部，25i 是虚部。

复数可以是纯实数或纯虚数，具体取决于两个分量中任何一个的值。

复数的极坐标形式

为了以图形方式表示复数，此处写出实部和虚部的极坐标。 θ表示数轴相对于实轴即x轴倾斜的角度。线所表示的长度称为其模数，在字母表中用字母 r 表示。在下图中，实部和虚部分别由 a 和 b 表示，而模数由 OP = r 表示。

显然，我们在图中获得了两个直角三角形，每个轴都有垂线。应用毕达哥拉斯定理将产生长度 OP，如下所示：

r = Modulus[cos(argument) + isin(argument)]

Or, z = r[cosθ + isinθ]

Here, $r = \sqrt{p^2+q^2}$  and θ = tan^-1(q/p)

德莫弗定理

当指数为 1 时，极坐标形式本质上是表示复整数的另一种方式。当给定复数的指数超过 1 并且需要评估或扩展时，DeMoivre 定理就会发挥作用。要根据指定的指数展开复数，必须首先将其转换为以模数和自变量为成分的极坐标形式。之后，应用 DeMoivre 定理，该定理指出：

公式

For all real values of say, a number x,

(cos x + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx),

Where n can assume any rational value.

如何使用 DeMoivre 定理求 i ^√3的值？

解决方案：

Modulus = r = $\sqrt{0^2+1^2}$ = 1

Argument = tan^-1[1/0] = π/2

Polar Form = r[cosθ + isinθ] 

= $1[cos(\frac{\pi}{2}) +i\ sin(\frac{\pi}{2})]$ 

Now, i^{√3} = $[cos(\frac{\pi}{2}) + i\ sin(\frac{\pi}{2})]^{\sqrt3}$

As per DeMoivre’s theorem: (cosθ + isinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

⇒ $[cos(\frac{\pi}{2}) + i\ sin(\frac{\pi}{2})]^{\sqrt3}$ = $[cos(\frac{\sqrt3\pi}{2}) + i\ sin(\frac{\sqrt3\pi}{2})]$.

类似问题

问题 1. 化简 (1 + i) ⁵ 。

解决方案：

Here, r = $\sqrt{(1^2+1^2)} = \sqrt{2}$, θ = π/4

The polar form of (1+i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Thus, (1+i)⁵ = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^5$

= $(\sqrt{2})^{5}[cos(\frac{5\pi}{4})+i\ sin(\frac{5\pi}{4})]$

= -4 – 4i

Hence, (1 + i)⁵ = -4 – 4i.

问题 2：化简 (2 + 2i) ⁶ 。

解决方案：

Here, r = $\sqrt{(2^2+2^2)} = 2\sqrt{2}$, θ = π/4

The polar form of  (2+2i) = $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Thus, (2 + 2i)⁶ = $[2\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^6$

= $(\sqrt{2})^{6}[cos(\frac{6\pi}{4})+i\ sin(\frac{6\pi}{4})]$

= 512 (-i)

Hence, (2 + 2i)⁶ = −512i.

问题 3：化简 (1 + i) ¹⁸ 。

解决方案：

Here, r = $\sqrt{(1^2+1^2)} = \sqrt{2}$, θ = π/4

The polar form of  (1+i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]$

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Thus, (1+i)¹⁸ = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{18}$

= $(\sqrt{2})^{18}[cos(\frac{18\pi}{4})+i\ sin(\frac{18\pi}{4})]$

= 512i

Hence, (1 + i)¹⁸ = 512i.

问题 4：化简 (-√3 + 3i) ³¹ .

解决方案：

Here, r = $\sqrt{((-\sqrt{3})^2+3^2)} = 2\sqrt{3}$, θ = 2π/3

The polar form of  (-√3 + 3i) = $[2\sqrt{3}cos(\frac{2\pi}{3})+i\ sin(\frac{2\pi}{3})]$

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Thus, (-√3 + 3i)³¹ = $[2\sqrt{3}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{31}$

= $(\sqrt{2})^{31}[cos(\frac{31\pi}{4})+i\ sin(\frac{31\pi}{4})]$

Hence, (-√3 + 3i)³¹ = $(2\sqrt{3})^{31}[-\frac{1}{2}+i\frac{3}{2}].$

问题 5. 简化 (1 – i) ¹⁰ .

解决方案：

r = $\sqrt{(1^2+(-1)^2)} = \sqrt{2}$, θ = π/4

The polar form of  (1 – i) = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i \ sin(\frac{\pi}{4})]$

According to De Moivre’s Theorem: (cosθ + sinθ)ⁿ = cos(nθ) + isin(nθ).

Thus, (1 – i)¹⁰ = $[\sqrt{2}cos(\frac{\pi}{4})+i\ sin(\frac{\pi}{4})]^{10}$

= $(\sqrt{2})^{10}[cos(\frac{10\pi}{4})+i\ sin(\frac{10\pi}{4})]$

= 32 [0 + i(-1)]

= 32 (-i)

Hence, (1 – i)¹⁰ = 0 – 32i.