介绍门问题和解法

门问题

门问题是一道经典的编程问题，题目描述如下：有n扇门，编号1到n，开始时所有门都是关着的。第1个人从门前经过，将编号为1的门打开；第2个人从门前经过，将编号为2、4、6……的门关闭；第3个人从门前经过，如果门是关着的就打开它，如果门是开着的就关闭它；第4个人按照2的规律操作门，即将编号为4、8、12……的门关闭，对于编号为2的门指的是临近编号为2的倍数的那个门，以此类推。依此规律进行下去，直到第n个人都走过之后，哪些门是开着的，哪些门是关着的？

解法

这道问题的解法有很多，下面将介绍两种常见的解法。

解法1：暴力枚举

一个最朴素的想法是将所有门的状态都保存在一个长度为n的数组中，初始状态都是0表示关着的。然后按照题目中的规律模拟从1到n个人操作门，最后遍历数组统计开着的门的数量即可。

def door(n):
    doors = [0] * n
    for i in range(1, n+1):
        if i == 1:
            doors[0] = 1
        elif i == 2:
            for j in range(2, n+1, 2):
                doors[j-1] = 1 - doors[j-1]
        else:
            for j in range(i, n+1, i):
                doors[j-1] = 1 - doors[j-1]
    return doors.count(1)

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，可以通过本题。

解法2：利用数学性质

我们可以观察题目中的操作规律，发现一个数n的因数个数如果是奇数，那么第n个门最后是开着的，否则是关着的。因为如果a是n的一个因数，那么对于第a个人，他会操作第n/a号门，因此对于第n个门来说，它会被因数n, n/2, n/3……n/n个人操作，其中n/2, n/3……n/n是n的所有奇数因子，因此门最终的状态由奇数个人来操作。

可以证明一个数的因数个数为奇数的条件是它是一个完全平方数，因此我们可以优化解法1中的代码，直接统计完全平方数的个数即可。

def door_optimized(n):
    return int(n ** 0.5)

这个算法的时间复杂度为O(1)，是O(n^2)解法的优化。