Sudo GATE 2020 Mock III（2019 年 1 月 24 日）| 问题 11

简介

问题 11 是 Sudo GATE 2020 Mock III（2019 年 1 月 24 日）中的一个编程问题。这个问题侧重于测试程序员对于二叉树和递归的理解，以及他们是否能够处理二叉树的各种操作。

问题描述

给定一个二叉树和一个整数 k，编写一个程序来找到二叉树中所有路径长度等于 k 的路径的数量。路径的长度是指从一个节点到另一个节点的边的数量。路径可以从任何节点开始和结束，但是必须按照根到叶子的方向。

输入格式

函数的输入是一个二叉树的根节点和一个整数 k。

输出格式

函数的输出是一个整数，表示二叉树中路径长度等于 k 的路径的数量。

示例

输入:

      1
     / \
    3   -1
   / \   / \
  2   1 4   5

k = 3

输出:

2

解释: 有两条路径长度等于 3 的路径: 1 -> 3 -> -1 和 3 -> 2 -> 1。

解题思路

问题可通过深度优先搜索（DFS）和递归来解决。我们可以从根节点开始，递归地检查每个节点，查找从该节点出发的路径是否存在，且路径长度等于 k。为了完成这个任务，我们可以创建一个递归函数，并传递当前节点、当前路径的长度和目标长度 k。每次递归调用时，将当前节点的值与当前路径长度相加，如果等于目标长度 k，则路径数量加一。然后递归调用函数，分别从左子树和右子树开始，将路径长度加 1。最后返回路径数量。

代码示例（Python）

class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right
        
def count_paths(root, k):
    if not root:
        return 0
    
    return count_paths_from_node(root, k) + count_paths(root.left, k) + count_paths(root.right, k)

def count_paths_from_node(node, k):
    if not node:
        return 0
    
    count = 0
    if node.val == k:
        count += 1
    
    count += count_paths_from_node(node.left, k - node.val) + count_paths_from_node(node.right, k - node.val)
    return count

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是二叉树中节点的数量。在最坏的情况下，我们需要使用深度优先搜索遍历每个节点，并且每个节点可能会有一个长度为 n 的路径。
• 空间复杂度：O(n)，其中 n 是二叉树中节点的数量。空间复杂度主要取决于递归堆栈的最大深度，该深度不会超过二叉树的高度，最坏情况下为 n。