门| GATE CS 1996 |问题19

这是GATE CS 1996中的一个问题，涉及到逻辑门和布尔代数。

题目描述

某人设计了一个电路，该电路有三个输入A、B和C和一个输出X，如下所示：

其中，表示逻辑非门（NOT），表示逻辑与门（AND）和表示逻辑或门（OR）。

该电路实现的布尔函数f(A, B, C)的真值表如下：

| A | B | C | f(A, B, C) | |:-:|:-:|:-:|:----------:| | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 |

请根据所给信息回答以下问题：

1. 电路中的每一个非门(NOT)相当于哪个类型的门？
2. 电路中的每一个与门(AND)相当于哪个类型的门？
3. 电路中的每一个或门(OR)相当于哪个类型的门？
4. 给出电路中每个非门(NOT)的输⼊和输出。
5. 给出电路中每个与门(AND)的输⼊和输出。
6. 给出电路中每个或门(OR)的输⼊和输出。
7. 完整的电路图中使用了几个非门(NOT)，几个与门(AND)和几个或门(OR)？

解题思路

对于每一行真值表，找到输出为1的情况并将其转化为布尔表达式，则可得到以下结果：

f(A, B, C) = (not A and not C) or (not A and B) or (A and C) or (A and not B and not C)

根据布尔表达式，可以推导出每个逻辑门的输入和输出。

1. 非门(NOT)相当于一组输入、一组输出均为1的异或门(XOR)。
2. 与门(AND)相当于三个输入、一个输出均为1的与非门(NAND)。
3. 或门(OR)相当于三个输入、一个输出均为0的与门(AND)。

具体证明如下：

1. 对于非门(NOT)，其输入为A、B或C之一，输出为A'、B'或C'之一。根据异或门的定义，当两个输入不同时，输出为1；当两个输入相同时，输出为0。因此，如果将输入与输出通过异或门连接起来，则可得到非门。例如，将A与A'通过异或门连接，则当A=0时，输出为1；当A=1时，输出为0，即为非门的输出。

2. 对于与门(AND)，其输入为A、B和C，输出为X。根据与非门的定义，当两个输入均为1时，输出为0；否则输出为1。因此，将输出X与一个与非门相连，其中输入为A、B和C，输出为Y，则可得到与门。如果X=1，则A、B和C中至少有一个为0，因此Y=0；如果X=0，则A、B和C均为1，因此Y=1。

3. 对于或门(OR)，其输入为A、B和C，输出为X。根据与门的定义，当两个输入均为0时，输出为0；否则输出为1。因此，将A、B和C各与一个非门相连，其中输入为A、B和C，输出为P、Q和R，则可得到或门。如果X=0，则P、Q和R均为1，因此A、B和C中至少有一个为0，满足或门的定义；如果X=1，则P、Q和R中至少有一个为0，因此A、B和C中至少有一个为1，不满足或门的定义。

在得到每个逻辑门的输入输出之后，可以回答每一个问题。

回答问题

1. 非门(NOT)相当于一组输入、一组输出均为1的异或门(XOR)。
2. 与门(AND)相当于三个输入、一个输出均为1的与非门(NAND)。
3. 或门(OR)相当于三个输入、一个输出均为0的与门(AND)。
4. 每个非门(NOT)的输入分别为A、B、C，输出分别为A'、B'、C'。
5. 每个与门(AND)的输入分别为A、B、C，输出为X。
6. 每个或门(OR)的输入分别为A、B、C，输出为X。
7. 完整的电路图中使用了1个非门(NOT)，2个与门(AND)和1个或门(OR)。

参考文献

1. Boolean algebra and logic gates
2. Logic circuit simplification (SOP and POS)