立方体公式的差异

代数是数学的一个分支，它研究、操作和分析各种各样的数学符号。它是对未知量的研究，通常使用数学中的变量来描述。代数包含一系列用于评估涉及变量的情况的公式和恒等式。线性代数、高级代数和交换代数只是其中的几个子分支。

代数恒等式

代数恒等式是左边的值等于右边的值的方程。与代数表达式不同，代数恒等式满足所有变量的值。尽管代数恒等式有很多，但立方差在代数中占有重要地位。

立方体公式的差异

当一个数字或整数（不是分数）与自身相乘两次时，就会创建一个立方体。顾名思义，该公式涉及两个代数变量的立方差（或变化）。例如，有两个变量，a 和 b。那么它们的立方体之差将是 a ³ – b ³ 。

在数学中，表达式 a ³ – b ³写成：

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

它是一种代数恒等式，用于查找两个整数立方之间的差，而无需计算立方。为了分解立方的二项式，使用立方差公式。

公式的推导

这个恒等式可以通过将右侧的表达式相乘并等于左侧的表达式来证明。这是这个身份的证明。

(a – b) (a² + ab + b²) = a (a² + ab + b²) – b (a² + ab + b²)

= a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³

= a³ – b³

示例问题

问题 1. 评估 12 ³ – 8 ³ 。

解决方案：

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = 12 and b = 8.

12³ – 8³ = (12 – 8) (12² + (12)(8) + 8²)

= 4 (144 + 96 + 64)

= 4 (304)

=1216

问题 2. 评估 15 ³ – 10 ³ 。

解决方案：

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = 15 and b = 10.

15³ – 10³ = (15 – 10) (15² + (15)(10) + 10²)

= 5 (225 + 150 + 100)

= 5 (475)

= 2375

问题 3。评估 19 ³ – 9 ³ 。

解决方案：

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = 19 and b = 9.

19³ – 9³ = (19 – 9) (19² + (19)(9) + 9²)

= 10 (361 + 171 + 81)

= 5 (613)

= 3065

问题 4. 评估 25 ³ – 12 ³ 。

解决方案：

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = 25 and b = 12.

25³ – 12³ = (25 – 12) (25² + (25)(12) + 12²)

= 13 (625 + 300 + 144)

= 13 (1069)

= 13897

问题 5. 因式分解 x ³ – 343。

解决方案：

Express the numbers on both sides of the minus sign as cubes.

x³ – 343 = x³ – 7³

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = x and b = 7.

= (x – 7) (x² + (x)(7) + 7²)

= (x – 7) (x² + 7x + 49)

问题 6. 分解 y ³ – 125。

解决方案：

Express the numbers on both sides of the minus sign as cubes.

y³ – 125 = y³ – 5³

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = y and b = 5.

= (y – 5) (y² + (y)(5) + 5²)

= (y – 5) (y² + 5y + 25)

问题 7. 因式分解 x ⁹ – 512。

解决方案：

Express the numbers on both sides of the minus sign as cubes.

x⁹ – 512 = (x³)³ – 8³

Use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = x³ and b = 8.

= (x³ – 8) ((x³)² + (x³)(8) + 8²)

= (x³ – 2³) (x⁶ + 8x³ + 64)

Again use the identity a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²), where a = x and b = 2.

= (x – 2) (x² + (x)(2) + 2²) (x⁶ + 8x³ + 64)

= (x – 2) (x² + 2x + 4) (x⁶ + 8x³ + 64)