门 | GATE CS 2018 |第 64 题

该问题要求考虑由初始状态“打开”的门开始，根据所给出的操作序列，最终门的状态为“关闭”的方案总数。我们可以采用动态规划的方法求解该问题。

状态表示

设 $dp_i$ 表示经过前 $i$ 次操作后门的状态为“关闭”的方案数。

状态转移

考虑第 $i+1$ 次操作，我们有两种决策：

1. 如果在第 $i+1$ 次操作中我们作用于一个已经关闭的门，那么这一次操作对于门的状态不会产生影响，因此这一次操作实际上对于方案总数并没有贡献。（因为这一次操作对于门的状态已经确定）
2. 如果在第 $i+1$ 次操作中我们作用于一个打开的门，那么这一次操作对于状态转移的影响是“将门关闭”。那么我们可以如下地进行状态转移：

$$ dp_{i+1} = \begin{cases} dp_i + 1, & \mbox{如果第 } i+1 \mbox{ 次操作作用于打开的门} \ dp_i, & \mbox{否则} \end{cases} $$

其中“否则”包括第 $i+1$ 次操作作用于已经关闭的门。

初始化

初始状态为 $dp_0=1$。这是因为开始时门是打开的，任何操作对于门的状态都不会产生影响。

时间复杂度

因为我们需要考虑每一个操作，所以时间复杂度是 $O(n)$。其中 $n$ 表示操作的次数。

完整代码

以下是使用 Python 3 实现的代码：

def count_door_close_ops(n: int, ops: List[int]) -> int:
    dp = [1]

    for i in range(n):
        if ops[i] == 1:
            dp.append(dp[-1] + 1)
        else:
            dp.append(dp[-1])

    return dp[-1]

其中 n 表示操作的次数，ops 是一个长度为 $n$ 的数组，表示每一次的操作。函数返回门状态为关闭的方案数。