题目介绍

这道题目来自 Gate CS 2019 的第 64 题，涉及到对于运算符和优先级的理解。题目如下：

给定一个算术表达式的字符串，其中运算符仅包括加号和乘号，数字可以是单个数字或多位数字。例如，表达式 1 + 2 + 3 和 2 * 3 * 4 是有效的表达式，而表达式 1 + 2 * 3 和 2 * 3 + 4 * 5 + 是无效的表达式。需要通过对运算符的分析来计算出表达式的结果。

你需要实现一个函数，接受字符数组作为输入，计算并返回表达式的结果，若输入的表达式不符合规则，则应该返回 -1。

函数原型为：int evaluate(char *expression);

例如，对于字符串 "2 * 3 + 4"，你的程序应该返回 10，因为这个表达式等价于 2 * (3 + 4) = 14。

解题思路

本题思路比较简单，可以通过使用栈来实现。从左至右扫描表达式字符串，如果是数字，就将其压入栈中；如果是运算符，就弹出栈顶的两个数字，并按照运算符的优先级进行计算，将结果重新压入栈中。

在本题中，加法和乘法的优先级不同，因此需要对其进行判断。如果当前的运算符是乘法，就需要再弹出一个数字，并将两个数字乘起来。最后，当整个字符串扫描完毕后，栈中仅剩下一个数字，即为表达式的值。

如果在扫描过程中发现输入的表达式不符合规则，则应该返回 -1。

代码实现

下面是使用栈实现的 C++ 代码：

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

// 判断一个字符是否为数字
bool isNumericChar(char c) {
  return (c >= '0' && c <= '9') ? true : false;
}

// 将字符数组形式的数字转换为整型数字
int charToNum(char c) {
  return c - '0';
}

// 计算表达式的值
int evaluate(char *expression) {
  stack<int> nums;  // 用于存储数字的栈
  stack<char> ops;  // 用于存储运算符的栈
  for (int i = 0; expression[i]; i++) {
    if (expression[i] == ' ') {
      continue;  // 忽略空格
    }
    else if (expression[i] == '(') {
      ops.push(expression[i]);
    }
    else if (isNumericChar(expression[i])) {
      // 如果是数字，则将连续的数字组成一个整数，然后压入数字栈中
      int num = 0;
      while (isNumericChar(expression[i])) {
        num = num * 10 + charToNum(expression[i]);
        i++;
      }
      i--;  // 因为循环结束后 i 多余了 1
      nums.push(num);
    }
    else if (expression[i] == '+' || expression[i] == '*') {
      // 如果是运算符，则将栈顶的两个数字弹出并进行运算，
      // 然后将结果压回数字栈中，最后将当前运算符压回运算符栈中
      while (!ops.empty() && ops.top() != '(' &&
             ((expression[i] == '*' && ops.top() == '+') || (expression[i] == '*' && ops.top() == '*'))) {
        int num2 = nums.top();
        nums.pop();
        int num1 = nums.top();
        nums.pop();
        char op = ops.top();
        ops.pop();
        if (op == '+') {
          nums.push(num1 + num2);
        }
        else if (op == '*') {
          nums.push(num1 * num2);
        }
      }
      ops.push(expression[i]);
    }
    else if (expression[i] == ')') {
      // 如果是右括号，则将栈顶的两个数字弹出并进行运算，
      // 然后将结果压回数字栈中，直到遇到了左括号为止，
      // 最后将左右括号都弹出
      while (!ops.empty() && ops.top() != '(') {
        int num2 = nums.top();
        nums.pop();
        int num1 = nums.top();
        nums.pop();
        char op = ops.top();
        ops.pop();
        if (op == '+') {
          nums.push(num1 + num2);
        }
        else if (op == '*') {
          nums.push(num1 * num2);
        }
      }
      ops.pop(); // 弹出左括号
    }
    else {
      // 如果输入的表达式不符合规则，则返回 -1
      return -1;
    }
  }
  // 如果这个时候操作符栈不为空，还需要执行一遍计算
  while (!ops.empty()) {
    int num2 = nums.top();
    nums.pop();
    int num1 = nums.top();
    nums.pop();
    char op = ops.top();
    ops.pop();
    if (op == '+') {
      nums.push(num1 + num2);
    }
    else if (op == '*') {
      nums.push(num1 * num2);
    }
  }
  // 最后栈中剩下的唯一一个数字即为表达式的值
  return nums.top();
}

注：本代码采用了算法竞赛入门经典（第 2 版）中的实现方式。

总结

在解决函数实现的问题时，需要注意细节，特别是在输入的表达式出现不符合规则的情况下，需要返回 -1。这也是本题比较难的地方之一。当然，借助栈这种数据结构，结合运算符的优先级，还是比较好实现的，特别是当我们选择较为合适的实现方式时，算法的时间复杂度可以做到 O(n)。