图论中的正则图

先决条件：图论基础 – 第 1 组、第 2 组

正则图：
如果每个顶点的度数相等，则称为正则图。如果图中每个顶点的度数为K，则该图称为 K 正则图。

例子：
考虑下图：

此图的每个顶点的度数为 2。因此，该图为2 正则。同样，下图分别是3 Regular和4 Regular 。

正则图的性质：

1. 一个完整的图 N 个顶点是(N-1)正则的。
   证明：
   在 N 个顶点的完整图中，每个顶点都连接到所有 (N-1) 个剩余顶点。所以，每个顶点的度数是(N-1)。所以该图是 (N-1) 正则的。
2. 对于 K 正则图，如果 K 为奇数，则该图的顶点数必定为偶数。
   证明：
   让我们假设，顶点数，N 是奇数。
   从握手定理我们知道，
   所有顶点的度数之和 = 2 * 图的边数 …….(1)
   等式(1)的RHS是偶数。

   对于 K 正则图，每个顶点的度数为 K。所有顶点的度数之和 = K * N，其中 K 和 N 都是奇数。所以它们的乘积(所有顶点的度数之和)一定是奇数。这使得等式(1)的 LHS 是奇数。所以 LHS不等于RHS 所以我们最初假设 N 是奇数是错误的。因此，顶点数(N)必须是偶数。

3. Cycle(C _n ) 始终为 2 正则。
   证明：
   在循环 (C _n ) 中，每个顶点都有两个邻居。所以，它们是 2 常规的。
4. 2 正则图由不相交的循环和无限链组成。

   

5. 具有 N 个顶点的 K 正则图的边数 = (N*K)/2。
   证明：
   设 N 个顶点的 K 正则图的边数为 E。
   从握手定理我们知道，

   所有顶点的度数之和 = 2 * E
   N * K = 2 * E
   或者，E = (N*K)/2

6. K 维超立方体 (Q _k ) 是 K 正则图。
   下面是一个 3 维超立方体(Q ₃ )，它是一个 3 正则图。