条件概率的贝叶斯定理

我们强烈建议参考下面的帖子作为先决条件。

条件概率

贝叶斯公式
下面是贝叶斯公式。
$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

该公式提供了 P(A|B) 和 P(B|A) 之间的关系。它主要来源于上一篇文章中讨论的条件概率公式。
考虑以下条件概率 P(A|B) 和 P(B|A) 的公式
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ —-(1)

$P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$ —-(2)

由于 P(B ∩ A) = P(A ∩ B)，我们可以将第一个公式中的 P(A ∩ B) 替换为 P(B|A)P(A)

替换后，我们得到给定的公式。

产品规则

产品规则规定

(1)   $\begin{equation*} P(X \cap Y) = P(X|Y)*P(Y) \end{equation*}$

所以 X 和 Y 都会出现的联合概率等于两项的乘积：

从产品规则：
$X \subseteq Y$意味着P(X|Y) = P(X)/P(Y)
$Y \subseteq X$意味着P(X|Y) = 1

链式法则

当上述乘积规则被推广时，我们导致链式规则。让有$E_{1}, E_{2},....E_{n}$ n 事件。然后，联合概率由下式给出

(2)   $\begin{equation*} P(\bigcap_{i=1,..,n}E_{i}) = P(E_{n}|\bigcap_{i=1,..,n-1}E_{i})*P(\bigcap_{i=1,..,n-1}E_{i}) \end{equation*}$

贝叶斯定理

从产品规则来看， $P(X \cap Y) = P(X|Y)P(Y)$和$P(Y \cap X) = P(Y|X)P(X)$ .作为$P(X \cap Y)$和$P(Y \cap X)$是一样的。

(3)   $\begin{equation*} P(Y|X) = \frac{P(X|Y)*P(Y)}{P(X)} \end{equation*}$

在哪里$P(X) = P(X \cap Y) + P(X \cap Y^{c})$ .

示例：框 P 有 2 个红球和 3 个蓝球，框 Q 有 3 个红球和 1 个蓝球。一个球的选择如下：

(i)  Select a box
(ii) Choose a ball from the selected box such that each ball in
     the box is equally likely to be chosen. The probabilities of
     selecting boxes P and Q are (1/3) and (2/3), respectively.  

假设在上述过程中选择的球是红球，它来自盒子 P 的概率是 (GATE CS 2005)
(一) 4/19
(乙) 5/19
(C) 2/9
(四) 19/30

解决方案：

R –> 选择红球事件 B –> 选择蓝球事件 P –> 选择框 P 的事件 Q –> 选择框 Q 的事件 我们需要计算 P(P|R) ? $P(P|R) = \frac{P(R|P)P(P)}{P(R)}$ P(R|P) = 从盒子中选出的一个红球 P = 2/5 P(P) = 1/3 P(R) = P(P)*P(R|P) + P(Q)*P( R|Q) = (1/3)*(2/5) + (2/3)*(3/4) = 2/15 + 1/2 = 19/30 将以上值放入贝叶斯公式 P(P |R) = (2/5)*(1/3) / (19/30) = 4/19

练习一家公司从 X 公司购买 70% 的计算机，从 Y 公司购买 30%。X 公司每 5 台计算机生产 1 台故障计算机，Y 公司每 20 台计算机生产 1 台故障计算机。一台电脑被发现有问题，它是从 X 公司购买的概率是多少?