主定理中的正则条件

主定理是算法复杂度的一种计算方法，根据算法的递推式（或递归式）来确定算法的复杂度。主定理的形式化定义如下：

$$ T(n) = aT(n/b) + f(n) $$

其中，$a$ 是问题规模缩小比例，$b$ 是子问题规模与原问题规模的比例，$f(n)$ 是问题本身所需的时间复杂度。主定理适用于可以划分为子问题的递归算法，其时间复杂度可以表示为递归式。

主定理给出了递归式的时间复杂度的渐进界（O表示上界），前提是满足正则条件。正则条件是指：

$$ af(n/b) \leq cf(n),\ c < 1 $$

也就是说，子问题的规模虽然不断缩小，但是求解子问题所需的时间必须具有一定的结构，能够保证子问题所需的时间在运行时间中占比越来越小。

主定理中的三种情况分别为：

• 第一种情况：$f(n) = \Theta(n^{\log_b{a}})$。此时，$T(n) = \Theta(n^{\log_b{a}}\log{n})$。
• 第二种情况：$f(n) = \Theta(n^{\log_b{a}}\log{n})$。此时，$T(n) = \Theta(n^{\log_b{a}}\log^2{n})$。
• 第三种情况：$f(n) = \Theta(n^{k})$，其中 $k > \log_b{a}$。此时，$T(n) = \Theta(f(n))$。

在使用主定理计算递归式的时间复杂度时，一定要保证满足正则条件。否则，主定理所得到的结果是不准确的。因此，程序员在使用主定理时应该注意正则条件的判断，以确保所求得的时间复杂度是正确的。

参考资料

• 算法导论（第三版）