题目介绍：门

这道题目是 GATE-IT-2004 的第 61 题。它是一道关于离散数学的题目，需要考虑图论中的一些基础知识。

题目描述

给定一个有向图，其中节点被标记为 S 或 T 或 W 或 A 或 B。其中，S 和 T 是开始节点和结束节点，A 和 B 是特殊节点，W 是普通节点。所有节点之间都有一些门，它们用门的编号表示。

起点为 S，你需要从 S 出发，按照下列的顺序经过节点：S、W、B、A、T。你需要选择可以走过所有节点的一条路径，并且要求路径中所有经过的门的编号是一个严格升序的序列。

请你编写算法，判断是否有这样的路径存在。

输入

输入参数是一个有向图 G = (V, E)。其中，V 表示节点集合，E 表示有向边的集合。每个节点都有一个标记，可能是 S 或 T 或 W 或 A 或 B 中的一种。每条边都有一个权值，表示门的编号。

输入的形式是一个邻接矩阵，表示图 G 的标准表示方式。

输出

输出结果是一个布尔值。如果存在一条按照题目描述要求的路径，那么输出 true；否则输出 false。

解题思路

这道题目是一道典型的图论算法。我们需要根据问题的描述，将问题转化为图论中的一些基础问题。

首先，我们明确这是一个有向图。因为在题目描述中，对于每个门我们都要确定它是一个升序的序列。这种要求只有在有向图中才能实现。

其次，我们可以先考虑如何判断一个有向图是否存在一条从源节点到汇节点的路径。这是一个经典的问题，我们可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法。实现起来非常简单，关键是如何判断所有门的编号是升序的。这个要求可以使用一些技巧，比如在 DFS 或 BFS 过程中，我们可以将路径上的每个门的编号与之前经过的所有门的编号进行比较，以判断是否为升序。

最后，如果我们已经能够判断一个有向图是否存在一条从源节点到汇节点的路径，并且满足所有门的编号是升序的前提，则只需要对该路径进行检查，判断是否按照要求经过了所有节点即可。

因此，解决这个问题的关键是实现 DFS 或 BFS 算法，并且在搜索路径时维护所有经过的门的编号序列。

代码实现

以下是一份使用 DFS 算法实现的代码片段：

# 邻接矩阵表示的有向图 G
G = [...]
# 标记是否经过该节点
visited = set()
# 经过的门的编号序列
doors = []

def dfs(node):
    # 标记已经经过该节点
    visited.add(node)
    # 如果经过的门的编号序列不是升序，则返回 False
    if len(doors) > 1 and doors[-1] > doors[-2]:
        return False
    # 如果经过的节点满足条件，返回 True
    if len(visited) == len(G) and doors == sorted(doors):
        return True
    # 遍历所有出边
    for j in range(len(G)):
        if G[node][j]:
            # 如果已经经过该节点，不再继续走该节点
            if j in visited:
                continue
            # 经过该节点的门
            if G[node][j] > 0:
                doors.append(G[node][j])
            # 递归访问下一个节点
            if dfs(j):
                return True
            # 撤销经过该节点的门
            if G[node][j] > 0:
                doors.pop()
    # 没有找到合适的路径
    return False

# 从起点 S 开始搜索
dfs(0)

以上代码片段使用了一个 visited 集合来记录是否已经经过某个节点，用一个 doors 列表来记录经过的门的编号序列。在搜索过程中，我们遍历当前节点的所有出边，并判断是否能够继续往下递归，直到找到一条符合要求的路径或遍历所有可能的路径都没有找到合适的。