删除最大边数以包含图中的 K 个连通分量

在网络研究和应用中，我们经常需要将图分为 K 个连通分量。当图中的连通分量数不足 K 个时，我们需要从图中删除一些边以增加连通分量的数量。但是，我们不想仅仅删除一些边，而希望删除足够多的边以确保有 K 个连通分量，并且删除的边数最多。

问题描述

给定一个无向图，其中每个节点都有一个唯一的标识符。 图可能包含多个连通分量，并且每个连通分量都与其他连通分量无关。我们希望从图中删除最少的边，以使得最后的图中包含 K 个连通分量。

解决方案

要解决这个问题，我们可以使用一个叫做 Kruskal 算法的算法。Kruskal 算法是一个用于求最小生成树的贪心算法。在 Kruskal 算法中，我们将边根据其权值从小到大地排序。我们然后扫描每条边，如果加上这条边不会形成环路，我们就将其加入生成树中。否则，我们会将其丢弃。

在 Kruskal 算法的基础上，我们可以修改算法以保证最终得到的图中有 K 个连通分量。具体来说，对于每个连通分量，我们都选择其中权值最小的边。当我们选择边时，我们将边权值设为一个足够大的值，以确保不会被选中。然后，我们运行 Kruskal 算法，直到生成 K 个连通分量的树。这个过程中我们选择的所有边都将被删除。

Python 代码

class UnionFind:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.count = n

    def find(self, p):
        while p != self.parent[p]:
            self.parent[p] = self.parent[self.parent[p]]
            p = self.parent[p]
        return p

    def union(self, p, q):
        root_p = self.find(p)
        root_q = self.find(q)
        if root_p == root_q:
            return False
        self.parent[root_q] = root_p
        self.count -= 1
        return True

class Solution:
    def maxNumEdgesToRemove(self, n: int, edges: List[List[int]], k: int) -> int:
        ufa = UnionFind(n)
        ufb = UnionFind(n)
        ans = 0
        # Type 3 edges
        for edge in edges:
            if edge[0] == 3:
                if ufa.union(edge[1] - 1, edge[2] - 1) and ufb.union(edge[1] - 1, edge[2] - 1):
                    ans += 1
        # Type 1 edges
        for edge in edges:
            if edge[0] == 1:
                if not ufa.union(edge[1] - 1, edge[2] - 1):
                    ans += 1
        # Type 2 edges
        for edge in edges:
            if edge[0] == 2:
                if not ufb.union(edge[1] - 1, edge[2] - 1):
                    ans += 1

        ufa_count = ufa.count
        ufb_count = ufb.count

        # Kruskal for Alice
        for edge in edges:
            if edge[0] == 1:
                ufa.union(edge[1] - 1, edge[2] - 1)
        for i in range(n):
            if ufa.find(i) != ufa.find(0):
                return -1

        # Kruskal for Bob
        for edge in edges:
            if edge[0] == 2:
                ufb.union(edge[1] - 1, edge[2] - 1)
        for i in range(n):
            if ufb.find(i) != ufb.find(0):
                return -1

        return len(edges) - ans if ufa_count == k and ufb_count == k else -1

参考资料

• LeetCode 1579. Remove Max Number of Edges to Keep Graph Fully Traversable 题解