要删除的最大边数以包含图中的 K 个连通分量

在图论中，连通图是一种非常基础的概念。一个连通图是指在这个图里，从任意一点出发，都可以通过一些边连接到这个图里的其他点。而图的连通分量，则是图被分割成多个最大连通子图所得到的集合。在一个图中，可能存在多个连通分量，也可能所有节点都在同一个连通分量内。如果我们需要将一个图分成 K 个连通分量，就需要删去一些边。

本文介绍如何计算要删除的最大边数以包含图中的 K 个连通分量。

解决方法

本问题可以转化为一个最小割问题。最小割是指在一个连通无向图中，将图分成两个不相交的部分，使得两个部分之间的边数最少。在本问题中，我们可以将图分成 K 个不相交的部分，使得需要删去的边数最少。

在解决最小割问题时，我们可以使用网络流算法。网络流算法包括多种算法，例如 Edmonds-Karp 算法、Dinic 算法等等。其中，Dinic 算法被广泛使用，因为它的复杂度比较优秀。

Dinic 算法，是一种流量增广算法。它通过多次 BFS，不断寻找增广路径，来增加流量。增广路径是从源点到汇点的路径，其沿途的边的剩余流量都大于 0。当无法找到增广路径时，算法结束。最小割问题，就等价于从源点到汇点没有增广路径时，割的最小值。

对于本问题，我们可以把需要删除的边的权重（也就是删除这条边后可以得到的联通分量数），看作最小割问题中的边权值。将图中的每一个相邻节点看作一条带有权重的边，边权为 1。这样，我们就将本问题转化为一个最小割问题了。

使用 Dinic 算法解决最小割问题时，我们需要先构造网络流图。网络流图需要满足以下两个条件：

1. 保持源点和汇点不变。

2. 将原图中每条边拆为两个有向边，分别命名为正向边和反向边。正向边的起点是这条边的起点，终点是这条边的终点。反向边的起点是这条边的终点，终点是这条边的起点。每条边的正向边和反向边的容量都是该边的权重。

最终的最小割，即为最终图的最大流。求得最大流后，需要将网络流图中剩余容量为 0 的反向边删除，这些反向边连接的两点就是一个割。如果能找到 K 个该割，则找到了要删去的最大边数，否则无解。

代码实现

from typing import List

class Solution:
    def maxNumEdgesToRemove(self, n: int, edges: List[List[int]], k: int) -> int:
        from collections import defaultdict
        graph1 = defaultdict(list)
        graph2 = defaultdict(list)
        for edge in edges:
            if edge[0] == 1:
                graph1[edge[1]].append(edge[2])
            elif edge[0] == 2:
                graph2[edge[1]].append(edge[2])
            else:
                graph1[edge[1]].append(edge[2])
                graph2[edge[1]].append(edge[2])

        # Do Max Flow for graph1
        max_edges_removed1 = self.do_dinic(n, graph1, 1, n)
        if max_edges_removed1 == -1:
            return -1

        # Do Max Flow for graph2
        max_edges_removed2 = self.do_dinic(n, graph2, 2, n)
        if max_edges_removed2 == -1:
            return -1

        # Check if there are K connected components
        max_edges_removed = max_edges_removed1 + max_edges_removed2
        if len(self.get_components(graph1, n)) + len(self.get_components(graph2, n)) <= k:
            return max_edges_removed

        return -1


    def do_dinic(self, n, graph, source, sink):
        """
        :type n: int
        :type graph: defaultdict(list)
        :type source: int
        :type sink: int
        :rtype: int
        """
        # Returns maximum flow if possible, otherwise returns -1
        from collections import deque
        level = [-1] * (n + 1)
        queue = deque()
        edge_pointer = defaultdict(int)
        max_flow = 0

        while True:
            queue.append(source)
            level[source] = 0
            if not self.BFS(graph, queue, level, source, sink):
                break
            edge_pointer.clear()
            while True:
                max_flow_from_augmenting_path = self.DFS(graph, level, edge_pointer, source, sink, float("inf"))
                if not max_flow_from_augmenting_path:
                    break
                else:
                    max_flow += max_flow_from_augmenting_path

        # Check if source and sink are disconnected
        connected_components = self.get_components(graph, n)
        if 1 in connected_components and n not in connected_components:
            return -1

        return max_flow

    def BFS(self, graph, queue, level, source, sink):
        # Returns True if there is still a path from |source| to |sink|, False otherwise
        while queue:
            u = queue.popleft()
            for v in graph[u]:
                if level[v] < 0 and v != source and graph[(u, v)] > 0:
                    level[v] = level[u] + 1
                    queue.append(v)
        return level[sink] >= 0

    def DFS(self, graph, level, edge_pointer, u, sink, flow):
        if u == sink:
            return flow

        while edge_pointer[u] < len(graph[u]):
            v, capacity = graph[u][edge_pointer[u]]
            if level[v] == level[u] + 1 and capacity > 0:
                bottle_neck = self.DFS(graph, level, edge_pointer, v, sink, min(flow, capacity))
                if bottle_neck:
                    graph[(u, v)] -= bottle_neck
                    graph[(v, u)] += bottle_neck
                    return bottle_neck

            edge_pointer[u] += 1

        return 0

    def get_components(self, graph, n):
        """
        :type graph: defaultdict(list)
        :type n: int
        :rtype: set
        """
        visited = [False] * (n + 1)
        components = set()
        for i in range(1, n + 1):
            if not visited[i]:
                component = set()
                queue = [i]
                visited[i] = True
                while queue:
                    u = queue.pop(0)
                    component.add(u)
                    for v in graph[u]:
                        if not visited[v]:
                            queue.append(v)
                            visited[v] = True
                components.add(frozenset(component))
        return components

总结

本文介绍了如何计算要删除的最大边数以包含图中的 K 个连通分量，本问题转化为最小割问题，使用 Dinic 算法解决最小割问题。Dinic 算法通过 BFS 不断寻找增广路径，来增加流量。增广路径是从源点到汇点的路径，其沿途的边的剩余流量都大于 0。本文代码还介绍了如何使用 BFS 搜索和 DFS 搜索，来判断一个有向图中的某两个节点是否连通，以及如何获取有向图的所有连通分量。