第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 27 章方向余弦和方向比 - 练习 27.1

介绍

RD Sharma是印度一位著名的数学家，他的数学教材被广泛用于印度中小学的数学教育中。他的数学教材分为12类，其中第12类主要介绍高级数学知识，如微积分、线性代数、概率论等。

本篇主题介绍RD Sharma解决方案中第12类的第27章《方向余弦和方向比》中的练习27.1。练习27.1主要介绍了如何计算三维空间中向量的方向余弦和方向比。这些概念在物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。

本文将从如下几个方面介绍RD Sharma解决方案中第12类第27章练习27.1的内容：

• 方向余弦的概念
• 方向比的概念
• 练习27.1的题意
• 练习27.1的解法

方向余弦的概念

在三维空间中，一个向量的方向可以用三个方向余弦来表示。设向量 $\mathbf{a}$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的方向余弦分别为 $l,\ m,\ n$，则有：

$$ l = \frac{a_x}{|\mathbf{a}|},\ m = \frac{a_y}{|\mathbf{a}|},\ n = \frac{a_z}{|\mathbf{a}|} $$

其中，$a_x,\ a_y,\ a_z$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的分量，$|\mathbf{a}|$ 是向量 $\mathbf{a}$ 的模长。

方向比的概念

在三维空间中，两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的方向比可以用两个方向余弦来表示。设向量 $\mathbf{a}$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的方向余弦分别为 $l,\ m,\ n$，向量 $\mathbf{b}$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的方向余弦分别为 $l',\ m',\ n'$，则有：

$$ \frac{a_x}{b_x} = \frac{l}{l'},\ \frac{a_y}{b_y} = \frac{m}{m'},\ \frac{a_z}{b_z} = \frac{n}{n'} $$

练习27.1的题意

练习27.1要求我们计算两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的方向比。已知向量 $\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 12\mathbf{k}$，向量 $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$。要求计算 $\frac{a_x}{b_x}$、$\frac{a_y}{b_y}$、$\frac{a_z}{b_z}$。

练习27.1的解法

首先，可以分别计算出向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长，分别记为 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$。有：

$$ |\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = 13 $$

$$ |\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-4)^2} = 6.708 $$

然后，分别计算出向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的方向余弦，分别记为 $l$、$m$、$n$ 和 $l'$、$m'$、$n'$。有：

$$ l = \frac{3}{13},\ m = -\frac{4}{13},\ n = \frac{12}{13} $$

$$ l' = \frac{2}{6.708},\ m' = \frac{5}{6.708},\ n' = -\frac{4}{6.708} $$

最后，代入方向比的公式计算即可。有：

$$ \frac{a_x}{b_x} = \frac{l}{l'} = 1.804 $$

$$ \frac{a_y}{b_y} = \frac{m}{m'} = -1.158 $$

$$ \frac{a_z}{b_z} = \frac{n}{n'} = -3 $$

因此，向量 $\mathbf{a}$ 和向量 $\mathbf{b}$ 的方向比分别为 $1.804:1$、$-1.158:1$、$-3:1$。

总结

本文介绍了RD Sharma解决方案中第12类第27章练习27.1的内容，包括方向余弦的概念、方向比的概念、练习27.1的题意和解法。方向余弦和方向比是三维空间中向量的重要概念，在物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。