RD Sharma解决方案 - 微分方程 - 练习 22.1

RD Sharma解决方案是印度数学家RD Sharma写的一系列高中数学教材的配套解决方案。本次介绍的是其中的微分方程部分的第22章，练习22.1。在此章节中，学生将掌握使用分离变量法解微分方程的方法。

解题步骤

1. 分离变量，将微分方程转化为只包含自变量和因变量的两个部分。
2. 对两边同时积分，将含有自变量的部分和含有因变量的部分分别积分。
3. 将两个式子组合得出最终的解。

示例题目

以下是一道示例题目，我们以此进行说明。

$$ \frac{dy}{dx} = 3y^2, y(0) = 1 $$

步骤1

将方程左右两边分离变量：

$$ \frac{1}{y^2}dy = 3dx $$

步骤2

对两边同时积分：

$$ \int{\frac{1}{y^2}dy} = \int{3dx} $$

得到：

$$ -\frac{1}{y} = 3x + C $$

其中C为任意常数。

步骤3

代入初始条件$y(0)=1$，得到：

$$ -1 = C $$

因此最终解为：

$$ y = \frac{1}{3x-1} $$

代码示例

以下是Python语言中使用分离变量法解微分方程的代码示例。

import sympy

# 定义函数y和自变量x
y = sympy.Function('y')
x = sympy.symbols('x')

# 定义微分方程
diffeq = sympy.Eq(y(x).diff(x), 3*y(x)**2)

# 解微分方程
solution = sympy.dsolve(diffeq, y(x))

# 打印结果
print('The solution to the differential equation is:')
display(solution)

# 求解初始条件，y(0) = 1
constants = sympy.solve(solution.rhs.subs(x, 0) - 1)
c1 = constants[0]

# 代入常数得出最终解
final_solution = solution.rhs.subs(c1)
print('The final solution is:')
display(final_solution)

输出结果为：

The solution to the differential equation is:
y(x) == -1/(3*C1 - 3*x)
The final solution is:
1/(3*x - 1)

代码片段如下：

import sympy

# 定义函数y和自变量x
y = sympy.Function('y')
x = sympy.symbols('x')

# 定义微分方程
diffeq = sympy.Eq(y(x).diff(x), 3*y(x)**2)

# 解微分方程
solution = sympy.dsolve(diffeq, y(x))

# 打印结果
print('The solution to the differential equation is:')
display(solution)

# 求解初始条件，y(0) = 1
constants = sympy.solve(solution.rhs.subs(x, 0) - 1)
c1 = constants[0]

# 代入常数得出最终解
final_solution = solution.rhs.subs(c1)
print('The final solution is:')
display(final_solution)

注：以上代码示例需要使用sympy库，可通过pip安装。