构造唯一矩阵

在数学中，唯一矩阵是一种在每个元素都不相同的情况下，每行和每列的元素都是互不相同的矩阵。这篇文章将向您展示如何以输入的 n 构造唯一矩阵。

我们首先考虑一个基本的问题：如何构造一个 n x n 的矩阵，使得每个元素都是唯一的？很简单，我们可以使用以下方式构造：

matrix = [[0] * n for i in range(n)]
num = 1
for i in range(n):
    for j in range(n):
        matrix[i][j] = num
        num += 1

这个程序使用了一个变量 num 来表示当前要填写的数字。它遍历矩阵的每个位置并将 num 的值存入该位置。当 num 达到 n^2 时，矩阵就填满了。

但是这个矩阵并不是唯一的。例如，如果我们将第一行和第三行交换，则仍然得到一个满足要求的矩阵。因此，我们需要使用一个更聪明的方法来构造唯一矩阵。

唯一矩阵是一种在每个元素都不相同的情况下，每行和每列的元素都是互不相同的矩阵。

我们将使用以下算法来构造唯一矩阵：

1. 将第一行填入 1 到 n 的数字。
2. 对于每一行 i > 1，将第一个元素设置为 i，然后按顺序填写其余数字，不包括上一行的元素。
3. 当最后一行填好后，交换列以确保第一个元素在第一列。

现在，您可以编写以下代码来构造唯一矩阵：

matrix = [[0] * n for i in range(n)]

# 填第一行
for i in range(n):
    matrix[0][i] = i + 1

# 逐行填写
for i in range(1, n):
    # 填第一个元素
    matrix[i][0] = i + 1
    # 填剩余元素
    for j in range(1, n):
        num = matrix[i-1][j]
        while num in matrix[i] or num in [matrix[k][j] for k in range(i)]:
            num += 1
        matrix[i][j] = num

# 交换列，确保第一个元素在第一列
for i in range(n):
    if matrix[i][0] != i + 1:
        for j in range(n):
            temp = matrix[i][j]
            matrix[i][j] = matrix[j][0]
            matrix[j][0] = temp
        break

这个程序使用了一个 while 循环来找到每个位置的正确数字。它对于每个位置，从上一行的相应位置开始搜索数字（不包括上一行的元素和左边的元素)，直到找到一个未被使用的数字为止。

最后，我们必须确保第一个元素位于第一列。如果不是，则交换该列的元素使其移至第一列。这使得我们可以对任何唯一矩阵执行相同的操作，以便生成一个独特的矩阵。

这就是以 n 作为输入构造唯一矩阵的方法。希望这篇文章对您有所帮助。