函数连续性 Python

函数连续性指的是当一个函数的极限趋向于某一点时，该函数的值也会趋向于同一个点。Python 中可以使用 sympy 库计算函数的连续性。

Sympy 库

Sympy 是 Python 中的数学计算库，可以进行符号计算，包括多项式求导、积分、代数等操作。使用前需要安装 sympy，可以使用 pip 进行安装。

pip install sympy

判断连续性

使用 Sympy 中的 limit 函数可以计算函数的极限值。当极限存在时，可以判断函数是否连续。

import sympy

# 定义函数
x = sympy.Symbol('x')
f = (x ** 2 - 1) / (x - 1)

# 计算极限
lim = sympy.limit(f, x, 1, dir='-')  # dir 参数为方向，左极限为 -，右极限为 +
print(lim)

# 判断连续性
if lim is f.subs(x, 1):
    print('函数连续')
else:
    print('函数不连续')

具体案例

假设有如下函数：

$$ f(x) = \begin{cases} x^2-1 & x<1 \ \frac{1}{x} & x>1 \end{cases} $$

判断函数在 $x=1$ 处是否连续。

import sympy

x = sympy.Symbol('x')
f1 = x ** 2 - 1
f2 = 1 / x

# 计算左右极限
lim1 = sympy.limit(f1, x, 1, dir='-')
lim2 = sympy.limit(f2, x, 1, dir='+')

if lim1 is lim2:
    print('函数连续')
else:
    print('函数不连续')

总结

通过 Sympy 库可以方便地计算函数的极限值，并判断函数的连续性。在实际应用中，可以通过函数的连续性来判断一些特殊情况，例如函数的可积分性等。同时需要注意，计算机计算的是近似值，如果需要精确计算，应尽量避免浮点数计算。