隐函数的导数－连续性和可微性12年级数学

隐函数是不能将特定变量表示为另一个变量的函数。一个依赖于多个变量的函数。隐式微分法可以帮助我们计算y相对于x的导数，而无需求解给定的y方程，这可以通过使用链式规则来实现，该链式规则可以帮助我们将y表示为x的函数。

隐式微分也可用于计算曲线的斜率，因为我们不能遵循将函数y = f(x)微分并将点的x坐标值放入dy / dx的直接过程来获得曲线的斜率。坡。相反，我们将必须遵循隐式微分的过程并求解dy / dx。

此处使用的隐式微分方法是找到未知量导数的通用技术。

例子

x²y² + xy²+ e^xy = abc = constant

上面的函数是隐式函数，我们不能以y表示x或以x表示y。

隐函数的导数

由于函数不能用一个特定变量表示，因此我们必须遵循另一种方法来找到隐式函数的导数：

而计算所述衍生物的隐函数的，我们的目的是解决用于DY / DX或取决于函数的任何高阶的衍生物。为了用x和y求解dy / dx，我们必须遵循某些步骤：

计算隐式函数的导数的步骤

• 给定具有因变量y和自变量x的隐式函数(或者反之)。
• 关于自变量对整个方程求微分(可以是x或y)。
• 区分后，我们需要应用区分的链式规则。
• 求解dy / dx(或同样dx / dy)的合成方程，如果需要高阶导数，则再次求微分。

“ y和x的某些函数等于其他”。知道x并不能帮助我们直接计算y。例如，

x² + y² = r^{2 (}Implicit function) 

Differentiate with respect to x:
d(x²) /dx + d(y²)/ dx = d(r²) / dx 

Solve each term:

Using  Power Rule: d(x²) / dx = 2x

Using Chain Rule :  d(y²)/ dx = 2y dydx

r² is a constant, so its derivative is 0:  d(r²)/ dx  = 0

Which gives us:

2x + 2y dy/dx = 0

Collect all the  dy/dx on one side

y dy/dx = −x

Solve for dy/dx:

dy/dx = −xy     

隐函数导数的样本问题

示例1.找到函数y(x)的一阶导数的表达式，该表达式由方程式隐式给出：x ² y ³ – 4y + 3x ³ = 2。

解决方案：

步骤1：针对x求出给定的方程式或函数。

              x²y³ – 4y + 3x³ = 2.
  
    d(x²y³ – 4y + 3x³) / dx = d(2) / dx 

步骤2：右侧的导数将为0，因为它是一个常数。

区分后的左侧：

2xy³ +3x²y² * dy/dx – 4 * dy/dx + 9x² = 0.

步骤3：在一侧收集涉及dy / dx的条款，在另一侧收集其余条款以获取：

dy/dx * (3x²y² – 4) = -9x² – 2xy³

dy/dx = – ( 9x² + 2xy³) /  (3x²y² – 4 )

这是曲线上任意点的一阶导数的表达式。此表达式还有助于我们计算在曲线的点(x，y)处绘制的切线的斜率。

示例2.找到y的一阶导数，隐式给出为：y – tan ^-1 y = x。

解决方案：

d(y – tan^-1y) /dx = d(x)/ dx.

dy/dx – (1/(1 + y²) * dy/dx = 1

dy/dx =1/(1 / (1–1/ (1 + y²)))

dy/dx = 1/y² + 1

示例3.如果x ² y ³ − xy = 10，则找到dy / dx。

解决方案：

2xy³ + x². 3y² . dy/dx – y – x . dy/dx = 0

(3x²y² – x ) . dy/dx = y – 2xy³

dy/dx = (y – 2xy³) / (3x²y² – x) 

例子4.如果y = sinx +舒适，则找到dy / dx

解决方案：

y – cosy = sinx

dy/dx + siny. dy/dx = cosx

dy/dx = cosx / (1 + siny)

示例5.在点(3，−4)处找到曲线x ² + y ² = 25的切线斜率。

解决方案：

Note that the slope of the tangent line to a curve is the derivative, differentiate implicitly with respect to x, which yields,

2x + 2y. dy/dx = 0

dy/dx = -x/y

Hence, at (3,−4), y′ = −3/−4 = 3/4, and the tangent line has slope 3/4 at the point (3,−4).