第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 9 章连续性 - 练习 9.1 |设置 1

本文为程序员提供的第 12 类 RD Sharma 解决方案中第 9 章连续性练习 9.1设置 1的介绍。RD Sharma是印度著名的数学家，其系列教材被广泛使用于各级教育中。

题目描述

在本题设置中，需要说明下列函数在给定点是否具有连续性：

$$ f(x)=\left{\begin{array}{ll}{x^{3},} & {x \leq 0} \ {a+b x,} & {0<x<1} \ {3 \sqrt{x}+a+b(x-1),} & {x \geq 1}\end{array}\right. $$

解决方案

可以通过分别分析函数在分段的情况下，每个分段点是否连续，并根据定义来确定函数在整个定义域上是否连续。

1. 当 $x \leq 0$ 时：$f(x) = x^3$，此时 $f(x)$ 为一个多项式函数，当 $x$ 在任何范围内连续。

2. 当 $0 < x < 1$ 时：$f(x) = a + bx$，此时 $f(x)$ 为一个一次函数，在 $x = 0$ 处可能不连续。可以使用 $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$ 来判断 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性，如果两个极限相等，则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

3. 当 $x \geq 1$ 时：$f(x) = 3\sqrt{x} + a + b(x-1)$，此时 $f(x)$ 为一个二次函数，在 $x = 1$ 处可能不连续。同样，可以使用 $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$ 来判断 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处的连续性，如果两个极限相等，则 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续。

综合分析上述分段，可以得出结论，当 $a = 1$，$b = -2$ 时，$f(x)$ 在整个定义域上连续。