第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 9 章连续性 - 练习 9.1 |设置 2

简介

本文简要介绍了RD Sharma第12类解决方案中的第9章连续性练习9.1的设置2部分。

RD Sharma是一本广受学生欢迎的数学教材，该教材内容丰富，深入浅出，对于提高学生的数学素养有很大的帮助。本文所涉及的RD Sharma第12类解决方案是该教材的解答指南，其中的练习题解答旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

练习 9.1 |设置 2

练习9.1是关于连续性的练习题，其设置2部分涉及函数的多个变量。该部分练习要求学生根据给定的函数和条件判断其是否连续，并求出该函数在一定范围内的最大值和最小值。

题目

已知函数$f(x,y,z)=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$，且x,y,z满足$x+y+z=1,x>0,y>0,z>0$，

求$f(x,y,z)$的最大值和最小值。

解法

我们首先来判断函数$f(x,y,z)$是否连续。

由于$x>0,y>0,z>0$，因此分母中的$xy+yz+zx$必定大于$0$，所以我们只需要判断函数分子$x^2+y^2+z^2$是否连续即可。

$$ \begin{aligned} \lim\limits_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}f(x,y,z) & = \lim\limits_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx} \ & = \lim\limits_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}\dfrac{2x}{y+z} + \dfrac{2y}{x+z} + \dfrac{2z}{x+y} \ & \geq \lim\limits_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}\dfrac{2\sqrt{xyz}}{y+z} + \dfrac{2\sqrt{xyz}}{x+z} + \dfrac{2\sqrt{xyz}}{x+y} \ & = 6\sqrt{3} \end{aligned} $$

由于$\lim\limits_{(x,y,z)\rightarrow(0,0,0)}f(x,y,z)$存在，因此函数$f(x,y,z)$在$(0,0,0)$处连续。

接下来，我们需要在$x+y+z=1$的条件下求出函数$f(x,y,z)$的最大值和最小值。

由于$(x+y+z)^2\geq3(xy+yz+zx)$，因此有$x^2+y^2+z^2\geq\dfrac{(x+y+z)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$，

即$f(x,y,z)\geq\dfrac{1}{3}$。当且仅当$x=y=z=\dfrac{1}{3}$时，$f(x,y,z)=\dfrac{1}{3}$，因此最小值为$\dfrac{1}{3}$。

要求最大值，我们可以采用拉格朗日乘数法。

令$F(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda(x+y+z-1)$，则有

$$ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x} & = \frac{2}{xy+yz+zx}\left(x-\frac{(y+z)x^2}{(xy+yz+zx)^2}\right)+\lambda=0 \ \frac{\partial F}{\partial y} & = \frac{2}{xy+yz+zx}\left(y-\frac{(x+z)y^2}{(xy+yz+zx)^2}\right)+\lambda=0 \ \frac{\partial F}{\partial z} & = \frac{2}{xy+yz+zx}\left(z-\frac{(x+y)z^2}{(xy+yz+zx)^2}\right)+\lambda=0 \ \frac{\partial F}{\partial \lambda} & = x+y+z-1=0 \end{aligned} $$

解得

$$ \begin{aligned} x=y=z=\frac{1}{3},\lambda=\frac{1}{6} \end{aligned} $$

此时，函数$f(x,y,z)$达到最大值$\dfrac{3}{2}$。

因此，所求最大值为$\dfrac{3}{2}$，最小值为$\dfrac{1}{3}$。

结论

本文介绍了RD Sharma第12类解决方案中的第9章连续性练习9.1的设置2部分。通过本题，我们深入理解了连续性的概念和判定方法，并学会了拉格朗日乘数法求函数的最值。同时，希望通过本文的介绍，可以帮助读者更好地掌握数学知识，提高解题能力。