第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 9 章连续性 - 练习 9.1 |设置 3

RD Sharma 解决方案是一套印度著名的数学教材解答，涵盖了初中到高中的数学知识。其中第 9 章连续性是一章非常重要的章节，而练习 9.1 则是其中的一道重要习题。

本文章将介绍如何解决第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 9 章连续性 - 练习 9.1 设置 3这一习题。

习题描述

题目描述：

设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 为连续函数，且 $f(x)$ 可导。如果 $f(0)=0$，证明存在 $c\in(0,1)$，使得 $f(c)+f'(c)f(1-c)=0$。

解题思路

首先，我们需要根据题意利用导函数的定义式，得到 $f(x)$ 在 $x=c$ 处的表达式： $$f(c)+f'(c)f(1-c)=0$$ 移项得： $$f(c)=-f'(c)f(1-c)$$ 接下来，我们考虑如何选取 $c$ 的值使得上式成立。

由于 $f(x)$ 是连续函数，且连续函数的值域必定是一个区间，故 $f(c)$ 必定有非零实数解。

因此，我们可以根据中值定理，得到 $c$ 的取值范围如下： $$f(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=f(1)$$ 即 $c\in(0,1)$。

最后，我们只需要验证 $f(c)+f'(c)f(1-c)=0$ 成立即可。

代码实现

以下代码片段为这道题的 Python 3 实现：

from sympy import *

x = symbols('x')

# 定义函数
f = Function('f')(x)

# 定义导数
f_prime = f.diff(x)

# 验证
c = symbols('c')

equation = f.subs(x, c) + f_prime.subs(x, c) * f.subs(x, 1-c)
if equation == 0:
    print('等式成立')
else:
    print('等式不成立')

总结

这篇文章给出了关于第 12 类 RD Sharma 解决方案 - 第 9 章连续性 - 练习 9.1 设置 3的介绍。其中，我们介绍了解题思路以及相应的 Python 3 代码实现，希望对需要学习这道题的程序员有所帮助。