教资会网络 | UGC NET CS 2016 年 8 月 – II |问题 37

介绍

UGC NET CS 2016 年 8 月 – II 是一个由教资会网络提供的计算机科学方面的网络考试，其中问题 37 是关于算法分析和设计部分的问题。

本问题要求实现一个程序，该程序可以通过动态规划算法来解决一个最长字串问题。这是一个经典的计算机科学问题，而动态规划算法则是解决这一问题的一种高效的算法。

设字符串 S 由不同的字符组成，定义 S 的长度为 |S|。我们要找到一个由 S 出发的非空字串 T，使得 T 在 S 中是不重复的，且 T 的长度最长。例如字符串 "abcabcbb" 的最长非重复字串为 "abc"。需要注意的是，此处的“非重复”字串不是指相邻字符不相同，而是指字串中的字符都不重复。

解题思路

此问题可通过动态规划算法来解决。定义 P[i] 表示以字符 S[i] 结尾的最长非重复字串的长度（即包括 S[i] 字符在内的最长非重复字串的长度）。则 P[0] = 1，P[i] 的递推公式如下：

• 若 S[i] 不在从前一个最长非重复字串的末尾 S[i - P[i - 1] + 1] 到 S[i-1] 这段区间内出现过，则 P[i] = P[i - 1] + 1
• 否则 P[i] 取决于 S[i] 与上一个 S[i - P[i - 1]] 相同的位置之间的距离，即 P[i] = i - pos，其中 pos 是 S[i] 上次出现的位置。

则 P 数组中最大的数字即为所求的最长非重复字串的长度。

代码实现

以下为动态规划算法的 Python 代码实现实例：

def longestSubstring(s: str) -> int:
    n = len(s)
    if n == 0:
        return 0
    # P[i] 表示以字符 s[i] 结尾的非重复字串的长度
    P = [0] * n
    # 第一个字符的最长非重复字串长度为 1
    P[0] = 1
    # 最长非重复字串的长度
    max_len = 1
    # 字典 d 用于记录字符上次出现的位置
    d = {s[0]: 0}

    for i in range(1, n):
        if s[i] not in d or i - d[s[i]] > P[i - 1]:
            P[i] = P[i - 1] + 1
        else:
            P[i] = i - d[s[i]]
        d[s[i]] = i
        max_len = max(max_len, P[i])

    return max_len

代码实现中使用了 Python 的字典类型来记录每个字符在字符串中最后出现的位置，用以实现上述递推公式的计算。