门 | GATE CS 2018 | 问题 12

这是一个关于门的GATE CS 2018题目，涉及到数字门电路的设计与实现。以下是题目的详细描述和解答过程。

题目描述

考虑一个数字电路，其输入为两个单比特二进制数 $a_1a_0$ 和 $b_1b_0$，输出一个单比特二进制数 $c$，使得 $c = 1$ 当且仅当 $a≥b$。实现该电路所需的 AND，OR 和 XOR 门的最小数量分别为何？

解答过程

首先，我们可以列出 $a$ 和 $b$ 所有可能的组合。一共有四种情况：

| $a$ | $b$ | | --- | --- | | 00 | 00 | | 00 | 01 | | 01 | 00 | | 01 | 01 |

然后，我们可以根据题目要求，对于每个情况输出 $c$ 的值。具体可以用以下表格表示：

| $a$ | $b$ | $c$ | | --- | --- | --- | | 00 | 00 | 1 | | 00 | 01 | 0 | | 01 | 00 | 1 | | 01 | 01 | 1 |

对于 $a≥b$ 的情况，只有第一和第四行 $c$ 的值为 1，即 $c=ab'+a'b+a'b'$。

从上面的表格可以看出，当 $a=0$ 时无论 $b$ 为 0 或者 1，$c$ 的值都为 1。因此，我们可以将 $a_0$ 和 $a_1$ 分别与 $b_0$ 和 $b_1$ 做 AND 运算，再将两个 AND 结果分别与 $a_1$ 去做 OR 运算，得到 $c$。具体电路如下所示（使用 Markdown 描述电路），其中 AND, OR 和 XOR 门数量分别为 3，3 和 0。

        +---    ---+
--------| a0    b0 |----+
        |          |    |
        +--- AND ---+    |
                |        |
        +---    ---+    |
--------| a1 ∧ b1  |----OR-----c
        |          |    |
        +---    ---+    |
--------| a1       |----+
        |          |
        +---    ---+

当然，还有其他一些方法可以实现同样的电路，这里只是给出一种比较简单的方式。