门|门 CS 1996 |问题 11

本文介绍了门|门 CS 1996问题11的解法，该问题涉及到了图的最小生成树算法——Kruskal算法。

问题描述

我们有$n$个门和$m$个房间，每个房间都能通过一扇门进入。每个门有一个开启的代价$c_i$，一个门可能会进入多个房间，每个房间不能重复进入。现在，我们要找到一种方案，使得所有的房间都能进去，并且代价最小。

Kruskal算法介绍

Kruskal算法可以解决这种最小生成树的问题。它的基本思路是：首先将所有的门按代价从小到大排序，然后从小到大枚举这些门，每次将该门的两个房间所在的连通块连通起来，直到所有房间都在同一个连通块中为止。

Kruskal算法使用并查集来维护连通块信息。具体来说，将每个房间看做一个点，每个门看做连接两个点的边。在Kruskal算法中，每次取一条门，就判断它连接两个点是否在同一个连通块中。如果不在同一个连通块中，就将它们连通，并将该门的代价加入答案。用并查集来维护连通块信息，可以达到$O(mlogm)$的时间复杂度。

解法思路

对于这个问题，我们可以按照上述的Kruskal算法进行求解。首先将所有的门按照代价从小到大排序，然后枚举每个门，依次将门连接的两个房间所在的连通块进行合并。当所有的房间都在同一个连通块中时，算法结束。

具体来说，我们可以使用一个并查集来维护当前连通块的信息。初始时每个房间都是一个连通块，接着按照门的代价从小到大枚举每个门，如果当前门连接的两个房间不在同一个连通块中，就将它们合并，并将该门的代价加入答案。最终答案即为代价之和。

代码实现

class UnionFind:
    def __init__(self, n: int):
        self.parent = list(range(n))
        self.size = [1] * n

    def find(self, x: int) -> int:
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x: int, y: int) -> bool:
        px, py = self.find(x), self.find(y)
        if px == py:
            return False
        if self.size[px] > self.size[py]:
            px, py = py, px
        self.parent[px] = py
        self.size[py] += self.size[px]
        return True

def min_cost_to_enter_all_rooms(rooms: List[List[int]]) -> int:
    n = len(rooms)
    edges = []
    for i, costs in enumerate(rooms):
        for j, cost in enumerate(costs):
            if i != j:
                edges.append((cost, i, j))
    edges.sort()
    ans, cnt = 0, 0
    uf = UnionFind(n)
    for cost, u, v in edges:
        if uf.union(u, v):
            ans += cost
            cnt += 1
            if cnt == n - 1:
                break
    return ans

rooms = [[1,2],[2,3],[1,3]]
print(min_cost_to_enter_all_rooms(rooms)) # Output: 3

上述代码中，我们定义了一个UnionFind类来维护并查集的信息，其支持find和union操作。min_cost_to_enter_all_rooms函数接受一个二维数组rooms，表示每个门连接的两个房间所需要的代价。最后返回连接所有房间所需的最小代价。在函数内部，我们首先将所有的门按照代价从小到大排序，接着枚举每个门，将门连接的两个房间所在连通块进行合并，直到所有的房间都在同一个连通块中为止。最终答案即为合并过程中代价之和。

总结

本文介绍了如何使用Kruskal算法来求解门|门 CS 1996问题11。在求解过程中，我们首先将所有的门按照代价从小到大排序，然后枚举每个门，依次将门连接的两个房间所在的连通块进行合并。在合并时，我们使用并查集来维护连通块信息。由于时间复杂度与边数相关，对于稠密图效果更佳。