UGC NET CS 2014 年 12 月 – II |问题 7

UGC NET CS 2014 年 12 月 – II |问题 7 是一道与编程相关的问题，主要考察程序员在实现一个给定的算法时的能力和理解。以下是该问题的具体描述和解析。

问题描述

给定一个数组 A[0..n-1]，其中 A[i] 表示下标为 i 的元素的权重。定义数组的权重和为所有元素的权重相加的总和，即 SUM(A[0]+A[1]+...+A[n-1])。现在要将数组 A 划分成两个数组，使得这两个数组的权重和之差的绝对值最小。设计一个时间复杂度为 O(n^2) 的动态规划算法来解决这个问题。

解析

题目要求我们将数组 A 划分成两个数组，使得这两个数组的权重和之差的绝对值最小。这个问题看起来很类似于背包问题，但是它不同于背包问题，因为在背包问题中我们是要将物品装入容器，在这里我们是要将元素划分成两个数组。因为这个问题需要我们设计一个动态规划算法，那么我们需要定义好状态转移方程。

我们可以使用 DP 定义一个二维数组 dp[m][n]，其中 dp[i][j] 表示前 j 个元素中，划分为两个数组的权重差最小的值。那么我们可以得到状态转移方程：

• 如果 j=0，则 dp[i][0] = SUM(A)-SUM(A[0])
• 如果 i=0，则 dp[0][j] = SUM(A)-SUM(A[0]+A[1]+...+A[j])
• 如果 i!=0 且 j!=0，则 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], abs(SUM(A[0]+A[1]+...+A[j])-dp[i-1][j-1]))

当我们要求解 dp[i][j] 的时候，它有两种情况：一个是将 A[j] 划分到前面的子数组中，另一个是将 A[j] 划分到后面的子数组中。我们需要找到这两种情况下最小的权重和之差，也就是分别求 dp[i-1][j] 和 dp[i-1][j-1] 的最小值。

由于该算法使用了二维数组，因此时间复杂度为 O(n^2)。当然，我们也可以将其优化成一个一维数组，从而将时间复杂度降至 O(n)。

总结

URRENT/2014/december-ii/problem-7 是一道使用动态规划算法解决权重划分问题的编程题。我们通过定义状态转移方程和使用 DP 解决该问题。该算法的时间复杂度为 O(n^2)，当使用一维数组优化后，时间复杂度可以降至 O(n)。对于程序员来说，掌握动态规划算法是十分必要的。