UGC NET CS 2014 年 12 月 – II |问题2

这个问题通常只需要一些基本的编程知识，有经验的程序员应该能够很容易地解决它。

问题描述

给定一个长度为n的整数数组a，它包含n个唯一的正整数，并且k是一个整数，满足1<=k<=n，写一个算法来找到数组a中第k小的元素。

思路

有多种方法可以解决这个问题，其中一种简单但有效的方法是使用快速选择算法。该算法的基本思想是在选择排序的基础上进行修改，每次选择一个基准元素，把数组分成两个部分，然后通过比较与基准元素相对应的元素的大小来确定应该在哪个部分继续查找。这样，算法可以通过递归减少到一个子数组中，直到找到第k小的元素。

以下是快速选择算法的伪代码：

function quickselect(a, k, left, right)
    if left == right
        return a[left]
    pivotIndex <- RandomizedPartition(a, left, right)
    if k == pivotIndex
        return a[k]
    else if k < pivotIndex
        return quickselect(a, k, left, pivotIndex - 1)
    else
        return quickselect(a, k, pivotIndex + 1, right)

function RandomizedPartition(a, left, right)
    pivotIndex <- RandomInt(left, right)
    pivotValue <- a[pivotIndex]
    Exchange(a, pivotIndex, right)
    storeIndex <- left
    for i <- left to right-1
        if a[i] < pivotValue
            Exchange(a, i, storeIndex)
            storeIndex++
    Exchange(a, storeIndex, right)
    return storeIndex

其中，RandomizedPartition函数通过随机选择基准元素来避免最坏情况的出现，即每次选择的基准元素均为最小或最大元素的情况。在快速选择算法中，快速排序的划分过程被精简为一个递归过程，只需要对一个子数组进行排序。

代码

下面是使用Python实现快速选择算法的代码片段：

import random

def quickselect(a, k):
    if len(a) == 1:
        return a[0]
    pivotIndex = randomized_partition(a, 0, len(a) - 1)
    if k == pivotIndex:
        return a[k]
    elif k < pivotIndex:
        return quickselect(a[:pivotIndex], k)
    else:
        return quickselect(a[pivotIndex + 1:], k - pivotIndex - 1)

def randomized_partition(a, left, right):
    pivotIndex = random.randint(left, right)
    pivotValue = a[pivotIndex]
    a[pivotIndex], a[right] = a[right], a[pivotIndex]
    storeIndex = left
    for i in range(left, right):
        if a[i] < pivotValue:
            a[i], a[storeIndex] = a[storeIndex], a[i]
            storeIndex += 1
    a[storeIndex], a[right] = a[right], a[storeIndex]
    return storeIndex

在代码中，我们使用了Python语言的切片操作来简化数组的处理。randomized_partition函数使用了Python内置的random模块生成随机数。