门|门 CS 1999 | 问题 5

简介

这道问题来自于门|门 CS 1999年的外部考试。问题5需要实现一个迷宫问题的解决算法，给定一个起点和终点，找到从起点到终点的迷宫路径。迷宫由0和1组成，其中0表示可以通行的格子，1表示障碍物，只能从相邻的0格子移动到下一个0格子。

输入输出

输入包含多组数据。 每组数据的第一行分别由2个整数n和m组成，表示迷宫的长和宽。 接下来n行，每行有m个01数字，中间没有空格，表示迷宫的状况。 '0'表示通道，'1'表示障碍物。 接下来一行一个字符串，表示起点的位置（列与行的坐标，以逗号隔开）。 接下来一行一个字符串，表示终点的位置。 对于每组数据，输出求解的结果，格式如下： 如果存在从起点到终点的路径，则输出路径的长度以及由‘W, S, A, D’四个字符组成的字符串，表示路径的方向，不用换行。 如果不存在从起点到终点的路径，则输出字符串“No Path”。

算法思路

问题5是一个迷宫问题，可以通过搜索算法解决。其中广度优先搜索和A算法是2个常用的迷宫搜索算法。 广度优先搜索可以保证找到的路径是最短的，但搜索的节点数量可能很大，对于大规模的迷宫来说，时间和空间复杂度都较高。 而A算法通过启发式函数的优化，可以减少搜索的节点数量，提高搜索效率，但并不能保证找到的路径是最短的。 综合考虑，一般使用A*算法求解迷宫问题。

代码示例

def A_star(maze, start_pos, end_pos):
    """
    A*算法求解迷宫问题
    :param maze: list，表示迷宫的矩阵
    :param start_pos: tuple，表示起点位置
    :param end_pos: tuple，表示终点位置
    :return: tuple，表示路径长度和路径方向字符串
    """
    import heapq
    
    def dis(a, b):
        """
        启发式函数，计算两点间的曼哈顿距离
        """
        return abs(a[0] - b[0]) + abs(a[1] - b[1])

    # 移动方向，上、右、下、左
    dxdy = [(-1, 0), (0, 1), (1, 0), (0, -1)]
    # 起点、终点
    start, end = start_pos, end_pos
    # 搜索队列：(score, g, (x, y))，score是启发式函数的值，表示估计的最优路径长度，g是已经走过的路径长度
    heap = [(dis(start, end), 0, start)]
    # 起点到该点的路径长度
    g = {start: 0}
    # 起点到该点的最优路径父节点
    f = {start: None}

    while heap:
        # 取出优先级最高的点
        score, gval, node = heapq.heappop(heap)
        if node == end:
            # 路径长度
            length = gval
            # 生成路径方向字符串
            direction = ""
            while node != start:
                prev = f[node]
                if prev[0] < node[0]:
                    direction = "W" + direction
                elif prev[0] > node[0]:
                    direction = "S" + direction
                elif prev[1] < node[1]:
                    direction = "A" + direction
                else:
                    direction = "D" + direction
                node = prev
            return length, direction

        for dx, dy in dxdy:
            x2, y2 = node[0] + dx, node[1] + dy
            if x2 >= 0 and x2 < len(maze) and y2 >= 0 and y2 < len(maze[0]):
                if maze[x2][y2] == "1":
                    continue
                next_node = (x2, y2)
                # 计算下一个位置到终点的距离
                score = gval + 1 + dis(next_node, end)
                if next_node not in g or score < g[next_node]:
                    # 更新起点到该点的路径长度和最优路径的父节点
                    g[next_node] = score
                    f[next_node] = node
                    # 将下一个位置加入到搜索队列
                    heapq.heappush(heap, (score, gval + 1, next_node))
    # 不存在路径，返回"No Path"
    return "No Path"