门| GATE-IT-2004 |第65章

简介

这是GATE-IT-2004的一道编程题目，名为“门”。该题目在计算机科学和算法设计的领域非常重要，可以帮助程序员进一步掌握算法的设计和实现技能，尤其是模拟、递归和动态规划等方面。

题目描述

假设有一个由n个门构成的连续墙壁。每个门都有不同的价值，可以用一个整数表示。现在你站在第一个门前面，你想要从左边走到右边，每次只能向前走一步。在经过每个门之后，你可以选择停下来观察这扇门，也可以继续走。如果你停下来观察了一个门，那么它的价值就会被计入你获得的总价值。目标是找到一条路径，使得获得的总价值最大。

问题分析

该题目可以采用分治，贪心和动态规划等算法进行求解。下面我们分别进行介绍。

分治法

分治法可能是最直接和自然的算法。我们将所有的门从中间一分为二，然后分别考虑右半边和左半边的最大加和子串。这样我们就有了三个候选结果：在左半边，右半边，或者横跨中间。需要注意的是，横跨中间的情况有点复杂，需要特别处理。

在实现过程中，我们可以用递归来处理左右两个半边的问题。在O(nlogn)的时间内可以完成求解。

贪心法

贪心法是一种基于局部最优解的算法。我们可以维护一个当前最大值和一个当前和，在遍历所有门的过程中，每遇到一个门，我们都可以考虑停下来观察它是否为当前最大值，如果是，则更新当前和，否则可以继续向前走。该算法的时间复杂度为O(n)。

动态规划

动态规划是一种非常经典的算法。我们可以设定一个状态dp[i]表示“从第一个门走到第i个门的最大价值”，其中1≤i≤n。然后我们可以使用递推公式dp[i] = max(dp[i-1]+a[i],a[i])求解最优解。需要注意的是，如果dp[i-1]小于0，则对后面的路径没有贡献，因此可以丢弃。

在实现过程中，我们可以用一个变量maxv来维护所有dp[i]中的最大值。这样我们就可以通过O(n)的时间复杂度来完成求解。

总结

本题是一道非常经典的算法题目，可以帮助程序员巩固自己的算法设计和实现技能。无论是采用分治、贪心还是动态规划的算法求解，程序员都需要掌握一些基本的算法思想和技巧。希望本文所述的内容能够让程序员更好地理解该题目，并取得不错的成绩。